Đối với ngành nuôi trồng thủy sản, việc kiểm soát lượng thuốc tồn dư trong nước là một nhiệm vụ quan trọng nhằm đáp ứng các tiêu chuẩn an toàn về môi trường. Khi nghiên cứu một loại thuốc trị bệnh trong nuôi trồng thủy sản, người ta sử dụng thuốc đó một lần và theo dõi nồng độ thuốc tồn dư trong nước kể từ lúc sử dụng thuốc. Kết quả cho thấy nồng độ thuốc \(y\left( t \right)\) (đơn vị: mg/lit) tồn dư trong nước tại thời điểm \(t\) ngày \(\left( t\ge 0 \right)\) kể từ lúc sử dụng thuốc, thỏa mãn \(y\left( t \right)>0\) và \({y}'\left( t \right)=k.y\left( t \right)\) \(\left( t\ge 0 \right)\), trong đó \(k\) là hằng số khác không. Đo nồng độ thuốc tồn dư trong nước tại các thời điểm \(t=6\) (ngày); \(t=12\) (ngày) nhận được kết quả lần lượt là 2mg/lit; 1mg/lit. Cho biết \(y\left( t \right)={{e}^{g\left( t \right)}}\left( t\ge 0 \right)\).

a) Với \(\vec{u}=\overrightarrow{OE}=(a;b;c)\) và \(|\vec{u}|=OE=1\) và góc giữa vectơ \(\vec{u}\) lần lượt với các vectơ \(\vec{i},\vec{j},\vec{k}\) có số đo tương ứng bằng \({{60}^{{}^\circ }},{{60}^{{}^\circ }},{{45}^{{}^\circ }}\Rightarrow \widehat{AOE}={{60}^{{}^\circ }},\widehat{COE}={{60}^{{}^\circ }},\widehat{GOE}={{45}^{{}^\circ }}\)

b) Ta có \(\overrightarrow{AB}//\vec{u}\left( \frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{\sqrt{2}}{2} \right)=(1;1;\sqrt{2})\Rightarrow AB:\frac{x-6}{1}=\frac{y-6}{1}=\frac{z}{\sqrt{2}}\).

c) Quãng đường đi được trong 2 giây là 

\(s=\int_{0}^{2}{|v(t)|dt}=\int_{0}^{2}{(\beta t+300)dt}=608\Leftrightarrow \beta =4\)

d) Quãng đường đi được trong 5 giây là

\(AB=\int_{0}^{5}{|v(t)|dt}=\int_{0}^{5}{(4t+300)dt}=1550~\text{m}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\frac{AB}{|\vec{u}|}\cdot \vec{u}=\frac{1550}{1}\cdot \left( \frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{\sqrt{2}}{2} \right)\Rightarrow {{x}_{B}}=\frac{1550}{2}+6=781\)

Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho gốc O trùng với điểm A, trục Ox trùng với cạnh AB, trục Oy trùng với cạnh AD, và trục Oz vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Khi đó, ta có tọa độ các điểm như sau: A(0,0,0), B(2,0,0), C(2,2,0), D(0,2,0).

Vì H là trọng tâm tam giác ABC nên tọa độ của H là \((\frac{0+2+2}{3},\frac{0+0+2}{3},0)=(\frac{4}{3},\frac{2}{3},0).\)

Vì SH vuông góc với (ABCD) và \(SH = \sqrt{2}\) nên tọa độ của S là \((\frac{4}{3},\frac{2}{3},\sqrt{2})\)

Vectơ chỉ phương của AC là \(\overrightarrow{AC}=C-A=(2,2,0).\)

Vectơ chỉ phương của SD là:

\(\overrightarrow{SD}=D-S=(0-\frac{4}{3},2-\frac{2}{3},0-\sqrt{2})=(-\frac{4}{3},\frac{4}{3},-\sqrt{2}).\)

Tích có hướng của \(\overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{SD}\) là 

\(\begin{array}{*{35}{l}}   \vec{n}=\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{SD} & =(2,2,0)\times (-\frac{4}{3},\frac{4}{3},-\sqrt{2})  \\   {} & =(-2\sqrt{2},2\sqrt{2},\frac{8}{3}-(-\frac{8}{3}))  \\   {} & =(-2\sqrt{2},2\sqrt{2},\frac{16}{3}).  \\\end{array}\)

Chọn điểm \(A(0,0,0)\) trên AC và điểm \(S(\frac{4}{3},\frac{2}{3},\sqrt{2})\) trên SD.

\(\overrightarrow{AS}=S-A=(\frac{4}{3},\frac{2}{3},\sqrt{2}).\)

Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD là

\(\begin{array}{*{35}{l}}   d(AC,SD) & =\frac{|\overrightarrow{AS}.[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{SD}]|}{|[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{SD}]|}  \\   {} & =\frac{\left| \left( \frac{4}{3},\frac{2}{3},\sqrt{2} \right)\cdot -\left( 2\sqrt{2},2\sqrt{2},\frac{16}{3} \right) \right|}{\sqrt{8+8+\frac{256}{9}}}  \\   {} & =\frac{\left| \frac{-8\sqrt{2}}{3}+\frac{4\sqrt{2}}{3}+\frac{16\sqrt{2}}{3} \right|}{\sqrt{\frac{144+256}{9}}}\text{ }=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{\frac{400}{9}}}\approx 0,85.  \\\end{array}\)

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD là \(0,85\).

Hàm doanh thu: \(F\left( x \right)=-0,01{{x}^{2}}+400x\) và hàm tổng chi phí \(C\left( x \right)=x.G\left( x \right)=30000+270x\)

Hàm lợi nhuận: \(P\left( x \right)=F\left( x \right)-C\left( x \right)=\left( -0,01{{x}^{2}}+400x \right)-\left( 30000+270x \right)\)

Rút gọn ta được: \(P\left( x \right)=F\left( x \right)-C\left( x \right)=-0,01{{x}^{2}}+130x-30000\)

Đổi 100 triệu đồng \(=100000\) (nghìn đồng)

Theo yêu cầu, ta có bất phương trình:

\(-0,01{{x}^{2}}+130x-30000>100000\)

\(\Leftrightarrow -0,01{{x}^{2}}+130x-130000>0\)

\(\Leftrightarrow 1091.7<x<11908.3\)

Kết hợp điều kiện bài toán \(x\in {{\mathbb{N}}^{\text{*}}}\) và \(1\le x\le 4500\)

Suy ra doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất \(1092\) sản phẩm thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Xét trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) có đường tròn tâm gốc tọa độ \(O\), bán kính \(5,7\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}\) là đường tròn thiết diện lớn nhất cắt khối cầu đề cho. Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua tâm \(O\) của khối cầu và \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng song song với \(\left( P \right)\) sao cho cách khối cầu 1 khoảng là \(a\) và biết rằng đường tròn giao tuyến tạo bởi \(\left( Q \right)\) có bán kính bằng \(3,5\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}\).

Khi ấy \(a\) là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa đường tròn \(\left( C \right):y=\sqrt{5,{{7}^{2}}-{{x}^{2}}}\) và đường thẳng \(y=3,5\). Tức ta có phương trình sau:

\(\sqrt{5,{{7}^{2}}-{{x}^{2}}}=3,5\Leftrightarrow x=\sqrt{5,{{7}^{2}}-3,{{5}^{2}}}=\frac{\sqrt{506}}{5}\)

Nhận thấy vật thể \(H\) để khoét vào khối chóp cụt có dạng là chỏm cầu có bán kính bằng \(3,5\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}\), khi ấy chiều cao của chỏm này chính bằng \(h=5,5-a=5,5-\frac{\sqrt{506}}{5}<1,5\left( \text{cm} \right)\) (hợp lệ)

Khi ấy thể tích \(\left( H \right)\) là: \({{V}_{a}}=\pi \int\limits_{\frac{\sqrt{506}}{5}}^{5,7}{{{\left( \sqrt{5,{{7}^{2}}-{{x}^{2}}} \right)}^{2}}}dx=A\left( \text{c}{{\text{m}}^{3}} \right)\)

Tại khối chóp cụt, ta thực hiện cắt một mặt phẳng qua đường cao khối chóp và vuông góc với hai đáy, khi ấy ta mô hình hóa được mặt cắt là hình thang vuông \(ABCD\) như hình vẽ dưới (trong đó \(A,D\) lần lượt là tâm mặt đáy bé và đáy lớn của chóp cụt)

Gọi \(E=AD\cap BC\), theo định lí Thales ta có: \(\frac{EA}{ED}=\frac{AB}{CD}\Leftrightarrow \frac{EA}{EA+1,5}=\frac{3.7}{5,2}\Leftrightarrow EA=3,7\left( \text{cm} \right)\).

Suy ra \(ED=EA+AD=5,2\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}\).

Gọi \({{V}_{1}}\) là thể tích khối chóp đều đáy là hình vuông cạnh \(7,4\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}\) và đường cao \(EA=3,7\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm }\!\!~\!\!\text{ }\)

\({{V}_{2}}\) là thể tích khối chóp đều đáy là hình vuông cạnh \(10,4\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}\) và đường cao \(ED=5,2\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}\)

Khi đó thể tích khối chóp cụt bằng:

\({{V}_{b}}={{V}_{2}}-{{V}_{1}}=\frac{1}{3}\left( {{(10,4)}^{2}}.5,2-{{(7,4)}^{2}}.3,7 \right)=119,94\left( \text{c}{{\text{m}}^{3}} \right)\left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2) ta suy ra thể tích khối chân đế là:

\({{V}_{a}}-{{V}_{b}}=119,94-A=95,9\left( \text{ }\!\!~\!\!\text{ c}{{\text{m}}^{3}} \right)\).

Gọi \(x\) là số lượng thực đơn 1 bán được và \(y\) là số lượng thực đơn 2 bán được. Điều kiện: \(x \ge 0,  y \ge 0\).

Thực đơn 1 có 2 cốc nước chanh và 1 túi khoai chiên. Thực đơn 2 có 3 cốc nước chanh và 2 túi khoai chiên. Tổng số nước chanh không quá 165 cốc và tổng số khoai chiên không quá 100 túi. Ta có hệ bất phương trình sau:

\(2x+3y\le 165\)

\(x+2y\le 100\)

\(x\ge 0,y\ge 0\)

Thực đơn 1 có giá 35 nghìn đồng và thực đơn 2 có giá 55 nghìn đồng. Hàm mục tiêu biểu diễn tổng số tiền thu được là:

\(f(x,y)=35x+55y\)

Vẽ các đường thẳng \(2x+3y=165\) và \(x+2y=100\) trên mặt phẳng tọa độ. Miền nghiệm là miền bị giới hạn bởi các đường thẳng này và các trục tọa độ.

Các đỉnh của miền nghiệm là giao điểm của các đường thẳng:

- (0, 0)

- (0, 50)

- (82.5, 0)

- Giao điểm của \(2x+3y=165\) và \(x+2y=100\). Giải hệ phương trình này, ta được \(x=30\) và \(y=35\).

Vậy giao điểm là (30, 35).

Tính \(f(x,y)=35x+55y\) tại các đỉnh:

- \(f(0, 0) = 0\)

- \(f(0, 50) = 35(0) + 55(50) = 2750\)

- \(f(82.5, 0) = 35(82.5) + 55(0) = 2887.5\)

- \(f(30, 35) = 35(30) + 55(35) = 1050 + 1925 = 2975\)

Giá trị lớn nhất của hàm mục tiêu là \(2975\), đạt được tại (30, 35).

Vậy, số tiền lớn nhất mà câu lạc bộ có thể nhận được sau khi bán hết hàng là \(2975\) nghìn đồng.