Câu hỏi:

Khi đó, số tiền mà người thợ mộc thu được là: 

\(f\left( x;y \right)=150x+50y\) (nghìn đồng).

Yêu cầu bài toán trở thành tìm \(x\) và \(y\) để hàm số \(f\left( x;y \right)=150x+50y\) đạt giá trị lớn nhất với \(x\), \(y\) thỏa mãn hệ sau:

\(\left\{ \begin{align} & 6x+3y\le 40 \\ & y\ge 3x \\ & x+\frac{y}{4}\le 4 \\ & x,\,y\ge 0 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 6x+3y\le 40 \\ & y\ge 3x \\ & 4x+y\le 16 \\ & x,\,y\ge 0 \\ \end{align} \right.\) (*).

Miền nghiệm của hệ (*) là tứ giác \(OABC\) (kể cả biên)

Ta có toạ độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{align}  & y=3x \\  & 4x+y=16 \\ \end{align} \right.\)\(\Rightarrow A\left( \frac{16}{7};\frac{48}{7} \right)\);

Toạ độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{align}  & 6x+3y=40 \\  & 4x+y=16 \\ \end{align} \right.\)\(\Rightarrow B\left( \frac{4}{3};\frac{32}{3} \right)\);

Toạ độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{align}  & x=0 \\  & 6x+3y=40 \\ \end{align} \right.\)\(\Rightarrow C\left( 0;\frac{40}{3} \right)\).

Thay tọa độ của từng điểm \(A,\,B,\,C\) vào hệ (*), ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất khi \(x=4;\,y=32\).

Vậy người thợ này cần sản xuất \(4\) cái bàn và \(32\) cái ghế trong vòng \(3\) tuần để thu về số tiền lãi lớn nhất.

Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\), ta có

\(\frac{AB}{\text{sin}C}=2R\) \(\Rightarrow R=\frac{AB}{2\text{sin}C}\)\(\approx \frac{9,5}{2\text{sin}{{60}^{\circ }}}\approx 5,5\) (cm).

Nửa số liệu bên trái là \(7,\,\,\,8,\,\,\,11,\,\,\,13\) gồm \(4\) giá trị, hai phần tử chính giữa là \(8\), \(11\).

Do đó, \({{Q}_{1}}=\left( 8+11 \right)\,:\,2=9,5\).

Nửa số liệu bên phải là \(18,\,\,\,19,\,\,\,20,\,\,\,22\) gồm \(4\) giá tri, hai phần tử chính giữa là \(19\), \(20\).

Do đó, \({{Q}_{3}}=\left( 19+20 \right)\,:\,2=19,5\).

Vậy khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu là \({{\Delta }_{Q}}=19,5-9,5=10\).

Suy ra \(BM=BN=\frac{\sqrt{3}}{2}a\).

Khi đó: 

\(\begin{array}{*{35}{l}}   \overrightarrow{BM}\cdot \overrightarrow{BN} & =BM\cdot BN\cdot \cos (\overrightarrow{BM},\overrightarrow{BN})=BM\cdot BN\cdot \cos \widehat{MBN}  \\   {} & =BM\cdot BN\cdot \cos {{60}^{{}^\circ }}=\frac{\sqrt{3}}{2}a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a\cdot \frac{1}{2}=\frac{3{{a}^{2}}}{8}.  \\\end{array}\)

Vậy \(\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{BN}=\frac{3{{a}^{2}}}{8}\).

Khi đó, lực tổng hợp tác động vào xe là \(\vec{F}=\overrightarrow{{{F}_{1}}}+\overrightarrow{{{F}_{2}}}\) có độ lớn là \(\left| {\vec{F}} \right|=F={{F}_{1}}+{{F}_{2}}=5\) N.