Câu hỏi:

Ta có: \(n(\Omega)=C_{20}^{3}\).

Gọi A là biến cố. "ba số lấy được lập thành cấp số cộng".

Giả sử ba số \(a, b, c\) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng, khi đó ta có \(a+c=2 b\). Hay \(a+c\) là một số chẵn và mỗi cách chọn 2 số \(a\) và \(c\) thỏa mãn \(a+c\) là số chẵn sẽ có duy nhất cách chọn Số cách chọn hai số có tổng chẵn sẽ là số cách chọn ba số tạo thành cấp số cộng.

TH1. Hai số lấy được đều là số chẵn, có: \(C_{10}^{2}\) cách lấy.

TH2. Hai số lấy được đều là số lẻ, có: \(C_{10}^{2}\) cách lấy.

\(\Rightarrow n(A)=C_{10}^{2}+C_{10}^{2}\)

\(P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega)}=\frac{C_{10}^{2}+C_{10}^{2}}{C_{10}^{3}}=\frac{3}{38}\).

Hàm số \(y=\sqrt{1-m^{2}+2 m \sin x}\) xác định

\(\Leftrightarrow 1-m^{2}+2 m \sin x \geq 0, \forall x \in\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\)

\(\Leftrightarrow 2 m \sin x \geq m^{2}-1, \forall x \in\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right](*)\)

+ Với \(m>0 \Rightarrow(*) \Leftrightarrow \sin x \geq \frac{m^{2}-1}{2 m}, \forall x \in\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\)

\(\Leftrightarrow \frac{m^{2}-1}{2 m} \leq 0 \Leftrightarrow m^{2}-1 \leq 0 \Leftrightarrow 0<m \leq 1\)

+ Với \(m<0 \Rightarrow(*) \Leftrightarrow \sin x \leq \frac{m^{2}-1}{2 m}, \forall x \in\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\)

\(\Leftrightarrow \frac{m^{2}-1}{2 m} \geq 1 \Leftrightarrow \frac{m^{2}-1-2 m}{2 m} \geq 0 \Leftrightarrow m^{2}-1-2 m \leq 0 \Leftrightarrow 1-\sqrt{2} \leq m<0\)

+ Với \(m=0 \Rightarrow y=1\) luôn xác định trên \(\mathbb{R}\)

Vậy \(1-\sqrt{2} \leq m \leq 1 \Rightarrow m=0, m=1\) là 2 giá trị nguyên.

Ta có \(|f(x)-1|=3 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}f(x)-1=3 \\ f(x)-1=-3\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}f(x)=4 \\ f(x)=-2\end{array}\right.\right.\).

Số nghiệm của phương trình \(|f(x)-1|=3\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) với hai đường thẳng \(y=4, y=-2\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta có: \(f(x)=4\) có 1 nghiệm, \(f(x)=-2\) có 3 nghiệm. Vậy số nghiệm thực của phương trình \(|f(x)-1|=3\) là 4.

Trong tam giác \(B C D\) có: \(P\) là trọng tâm, \(N\) là trung điểm \(B C\). Suy ra \(N, P, D\) thẳng hàng.

Vậy thiết diện là tam giác \(M N D\)

Xét tam giác \(M N D\), ta có \(M N=\frac{A B}{2}=a ; D M=D N=\frac{A D \sqrt{3}}{2}=a \sqrt{3}\).

Do đó tam giác \(M N D\) cân tại \(D\).

Gọi \(H\) là trung điểm \(M N\) suy ra \(D H \perp M N\).

Diện tích tam giác \(S_{\triangle M N D}=\frac{1}{2} M N. D H=\frac{1}{2} M N. \sqrt{D M^{2}-M H^{2}}=\frac{a^{2} \sqrt{11}}{4}\).

Không gian mẫu là số cách chọn Chọn 5 câu hỏi.

+ Chọn câu 1 có: 5 cách.

...

+ Chọn câu 5 có: 5 cách.

Vậy số phần tử của không gian mẫu là \(n(\Omega)=5^{5}\).

Gọi biến cố \(A\) : "Làm sai ít nhất 4 câu hỏi trong 5 câu".

Để biến cố \(A\) xảy ra có 2 trường hợp:

TH1: Chọn sai 4 câu hỏi:

+ Chọn sai 1 câu có 4 cách \(\Rightarrow\) chọn sai 4 câu có \(4^{4}\) cách.

+ Chọn vị trí câu duy nhất làm đúng có 5 cách.

TH2: Chọn sai 5 câu hỏi:

+ Chọn sai 1 câu có 4 cách \(\Rightarrow\) chọn sai 5 câu có \(4^{5}\) cách.

Vậy số kết quả thuận lợi cho \(A\) là \(n(A)=4^{4}.5+4^{5}\).

Xác suất cần tìm là \(P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega)}=\frac{4^{4} \cdot 5+4^{5}}{5^{5}}=\frac{2304}{3125}\).