Câu hỏi:

Hàm số \(y=\sqrt{1-m^{2}+2 m \sin x}\) xác định

\(\Leftrightarrow 1-m^{2}+2 m \sin x \geq 0, \forall x \in\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\)

\(\Leftrightarrow 2 m \sin x \geq m^{2}-1, \forall x \in\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right](*)\)

+ Với \(m>0 \Rightarrow(*) \Leftrightarrow \sin x \geq \frac{m^{2}-1}{2 m}, \forall x \in\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\)

\(\Leftrightarrow \frac{m^{2}-1}{2 m} \leq 0 \Leftrightarrow m^{2}-1 \leq 0 \Leftrightarrow 0<m \leq 1\)

+ Với \(m<0 \Rightarrow(*) \Leftrightarrow \sin x \leq \frac{m^{2}-1}{2 m}, \forall x \in\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\)

\(\Leftrightarrow \frac{m^{2}-1}{2 m} \geq 1 \Leftrightarrow \frac{m^{2}-1-2 m}{2 m} \geq 0 \Leftrightarrow m^{2}-1-2 m \leq 0 \Leftrightarrow 1-\sqrt{2} \leq m<0\)

+ Với \(m=0 \Rightarrow y=1\) luôn xác định trên \(\mathbb{R}\)

Vậy \(1-\sqrt{2} \leq m \leq 1 \Rightarrow m=0, m=1\) là 2 giá trị nguyên.

Ta có \(|f(x)-1|=3 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}f(x)-1=3 \\ f(x)-1=-3\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}f(x)=4 \\ f(x)=-2\end{array}\right.\right.\).

Số nghiệm của phương trình \(|f(x)-1|=3\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) với hai đường thẳng \(y=4, y=-2\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta có: \(f(x)=4\) có 1 nghiệm, \(f(x)=-2\) có 3 nghiệm. Vậy số nghiệm thực của phương trình \(|f(x)-1|=3\) là 4.

Trong tam giác \(B C D\) có: \(P\) là trọng tâm, \(N\) là trung điểm \(B C\). Suy ra \(N, P, D\) thẳng hàng.

Vậy thiết diện là tam giác \(M N D\)

Xét tam giác \(M N D\), ta có \(M N=\frac{A B}{2}=a ; D M=D N=\frac{A D \sqrt{3}}{2}=a \sqrt{3}\).

Do đó tam giác \(M N D\) cân tại \(D\).

Gọi \(H\) là trung điểm \(M N\) suy ra \(D H \perp M N\).

Diện tích tam giác \(S_{\triangle M N D}=\frac{1}{2} M N. D H=\frac{1}{2} M N. \sqrt{D M^{2}-M H^{2}}=\frac{a^{2} \sqrt{11}}{4}\).

Không gian mẫu là số cách chọn Chọn 5 câu hỏi.

+ Chọn câu 1 có: 5 cách.

...

+ Chọn câu 5 có: 5 cách.

Vậy số phần tử của không gian mẫu là \(n(\Omega)=5^{5}\).

Gọi biến cố \(A\) : "Làm sai ít nhất 4 câu hỏi trong 5 câu".

Để biến cố \(A\) xảy ra có 2 trường hợp:

TH1: Chọn sai 4 câu hỏi:

+ Chọn sai 1 câu có 4 cách \(\Rightarrow\) chọn sai 4 câu có \(4^{4}\) cách.

+ Chọn vị trí câu duy nhất làm đúng có 5 cách.

TH2: Chọn sai 5 câu hỏi:

+ Chọn sai 1 câu có 4 cách \(\Rightarrow\) chọn sai 5 câu có \(4^{5}\) cách.

Vậy số kết quả thuận lợi cho \(A\) là \(n(A)=4^{4}.5+4^{5}\).

Xác suất cần tìm là \(P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega)}=\frac{4^{4} \cdot 5+4^{5}}{5^{5}}=\frac{2304}{3125}\).

Từ phương trình \(C_{n}^{n-2}+6 n+5=A_{n+1}^{2} \rightarrow n=10\).

Với \(n=10\), khi đó \(P(x)=\left(1-x-3 x^{3}\right)^{n}=\left(1-x-3 x^{3}\right)^{10}\).

Theo khai triển nhị thức Newton, ta có

\(P(x)=\left(1-x-3 x^{3}\right)^{10}=\left[1-\left(x+3 x^{3}\right)\right]^{10}=\sum_{k=0}^{10} C_{10}^{k}(-1)^{k}\left(x+3 x^{3}\right)^{k}\)

\(=\sum_{k=0}^{10} C_{10}^{k}(-1)^{k} x^{k}\left(1+3 x^{2}\right)^{k}=\sum_{k=0}^{10} C_{10}^{k} \sum_{l=0}^{k} C_{k}^{l}(-1)^{k} 3^{l} x^{k+2 l}\).

Số hạng chứa \(x^{4}\) trong khai triển tương ứng với \(\left\{\begin{array}{l}k+2 l=4 \\ 0 \leq k \leq 10 \\ 0 \leq l \leq k\end{array} \Leftrightarrow(k ; l)=\{(4 ; 0),(2 ; 1)\}\right.\).

Vậy hệ số của số hạng chứa \(x^{4}\) trong khai triển là \(C_{10}^{4} C_{4}^{0}+C_{10}^{2} C_{2}^{1} 3=480\).