Câu hỏi:
Cho tứ diện \[S.ABC\] có các cạnh \[SA,\,SB,\,SC\] đôi một vuông góc và \[SA = SB = SC = 1\] (minh họa như hình dưới). Gọi \[\alpha \] là góc phẳng nhị diện \[\left[ {S,BC,A} \right]\]. Tính \[\cos \alpha \].
Đáp án đúng: B
$BC = \sqrt{2}$
$SH \perp BC$ (1)
$AH \perp BC$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là góc $\widehat{SHA} = \alpha$.
Tam giác $SBC$ vuông cân tại $S$ nên $SH = \frac{BC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Tam giác $ABC$ đều nên $AH = \frac{BC\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.
Áp dụng định lý cosin trong tam giác $SHA$:
$\cos \alpha = \frac{SH^2 + AH^2 - SA^2}{2SH.AH} = \frac{\frac{2}{4} + \frac{6}{4} - 1}{2.\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{6}}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{12}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$.
Cách khác: Tam giác $SHA$ vuông tại $S$ nên $\cos \alpha = \frac{SH}{AH} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
Câu hỏi liên quan
* Bước 1: Tìm khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $d$.
Khoảng cách từ điểm $M(a, b)$ đến đường thẳng $d: 3x - y + 6 = 0$ được tính bởi công thức:
$d(M, d) = \frac{|3a - b + 6|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|3a - b + 6|}{\sqrt{10}}$
* Bước 2: Thay $b = \frac{2a + 1}{a + 2}$ vào biểu thức khoảng cách.
$d(M, d) = \frac{|3a - \frac{2a + 1}{a + 2} + 6|}{\sqrt{10}} = \frac{|3a(a + 2) - (2a + 1) + 6(a + 2)|}{\sqrt{10}|a + 2|} = \frac{|3a^2 + 6a - 2a - 1 + 6a + 12|}{\sqrt{10}|a + 2|} = \frac{|3a^2 + 10a + 11|}{\sqrt{10}|a + 2|}$
* Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách.
Để tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách, ta có thể sử dụng đạo hàm hoặc các phương pháp khác để tìm cực trị của hàm số $f(a) = \frac{|3a^2 + 10a + 11|}{|a + 2|}$. Tuy nhiên, việc này khá phức tạp.
Một cách tiếp cận khác là tìm điểm $M$ sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $M$ song song với đường thẳng $d$.
* Bước 4: Tìm điểm $M$ bằng phương pháp tiếp tuyến song song.
Đạo hàm của hàm số $y = \frac{2x + 1}{x + 2}$ là $y' = \frac{2(x + 2) - (2x + 1)}{(x + 2)^2} = \frac{3}{(x + 2)^2}$.
Để tiếp tuyến tại $M$ song song với $d$, ta cần $y'(a) = 3$, tức là $\frac{3}{(a + 2)^2} = 3$.
Suy ra $(a + 2)^2 = 1$, vậy $a + 2 = 1$ hoặc $a + 2 = -1$.
* Nếu $a = -1$, thì $b = \frac{2(-1) + 1}{-1 + 2} = -1$.
* Nếu $a = -3$, thì $b = \frac{2(-3) + 1}{-3 + 2} = \frac{-5}{-1} = 5$.
* Bước 5: Tính khoảng cách cho cả hai điểm và chọn điểm có khoảng cách nhỏ nhất.
* Với $M(-1, -1)$, khoảng cách là $d(M, d) = \frac{|3(-1) - (-1) + 6|}{\sqrt{10}} = \frac{|-3 + 1 + 6|}{\sqrt{10}} = \frac{4}{\sqrt{10}}$.
* Với $M(-3, 5)$, khoảng cách là $d(M, d) = \frac{|3(-3) - 5 + 6|}{\sqrt{10}} = \frac{|-9 - 5 + 6|}{\sqrt{10}} = \frac{8}{\sqrt{10}}$.
Vậy điểm $M(-1, -1)$ có khoảng cách nhỏ nhất.
* Bước 6: Tính giá trị của biểu thức $T = 6a^2 + 7b^2$.
$T = 6(-1)^2 + 7(-1)^2 = 6(1) + 7(1) = 6 + 7 = 13$.
Vậy $T = 13$.
Khoảng tứ phân vị là $Q_3 - Q_1 = \frac{845}{21}$
Ta có $x + 120 + y + 70 + 60 = 400 \Rightarrow x + y = 150$
$Q_1$: Vị trí $Q_1$ là $\frac{N}{4} = \frac{400}{4} = 100$. Suy ra $Q_1$ thuộc nhóm $[20;40)$. Gọi $Q_1 = 20 + \frac{100-x}{120} (40-20) = 20 + \frac{200-2x}{12}$
$Q_3$: Vị trí $Q_3$ là $\frac{3N}{4} = \frac{3*400}{4} = 300$.
$Q_3$ thuộc nhóm $[40;60)$ hoặc $[60;80)$.
Nếu $Q_3$ thuộc $[40;60)$ thì $x+120 < 300$ và $x+120+y \ge 300$. Suy ra $x < 180$ và $150+120 = 270 \ge 300$ (vô lý).
Vậy $Q_3$ thuộc $[60;80)$. Ta có $Q_3 = 60 + \frac{300 - (x+120+y)}{70} (80-60) = 60 + \frac{300 - 400+70}{70} * 20 = 60 + \frac{-30}{70}*20 = 60 - \frac{60}{7} = \frac{360}{7}$
$Q_3 - Q_1 = \frac{360}{7} - (20 + \frac{200-2x}{12}) = \frac{845}{21}$
$\frac{360}{7} - 20 - \frac{50}{3} + \frac{x}{6} = \frac{845}{21}$
$\frac{1080 - 420 - 350}{21} + \frac{x}{6} = \frac{845}{21}$
$\frac{310}{21} + \frac{x}{6} = \frac{845}{21}$
$\frac{x}{6} = \frac{845-310}{21} = \frac{535}{21}$
$x = \frac{535 * 6}{21} = \frac{535 * 2}{7} = \frac{1070}{7}$ (không là số nguyên).
Xem lại vị trí $Q_1$ thuộc $[0;20)$, suy ra $Q_1 = 0 + \frac{100}{x} (20-0) = \frac{2000}{x}$
$\frac{360}{7} - \frac{2000}{x} = \frac{845}{21}$
$\frac{2000}{x} = \frac{360}{7} - \frac{845}{21} = \frac{1080 - 845}{21} = \frac{235}{21}$
$x = \frac{2000 * 21}{235} = \frac{400 * 21}{47} = \frac{8400}{47}$ (không là số nguyên).
$Q_3 = 60 + \frac{300-(x+120+y)}{70} * 20 = 60 + \frac{300 - (400-70-60)}{70} * 20 = 60 + \frac{30}{70} * 20 = 60 + \frac{60}{7}$
Nếu $Q_3$ rơi vào $[80;100)$ thì $Q_3 = 80 + \frac{300-(x+120+y+70)}{60} * 20 = 80 + \frac{300-(230)}{60} * 20 = 80 + \frac{70}{60}*20 = 80 + \frac{70}{3} = \frac{310}{3}$
$\frac{310}{3} - (20 + \frac{200-2x}{12}) = \frac{845}{21}$
$\frac{310}{3} - 20 - \frac{50}{3} + \frac{x}{6} = \frac{845}{21}$
$\frac{250}{3} - 20 + \frac{x}{6} = \frac{845}{21}$
$\frac{250-60}{3} + \frac{x}{6} = \frac{845}{21}$
$\frac{190}{3} + \frac{x}{6} = \frac{845}{21}$
$\frac{x}{6} = \frac{845 - 1330}{21} = \frac{-485}{21}$
(Vô lý)
Giả sử $Q_1$ thuộc $[0;20)$. Ta có $Q_1 = 0 + \frac{100}{x} * 20 = \frac{2000}{x}$
Nếu $Q_3$ thuộc $[60;80)$. Ta có $Q_3 = 60 + \frac{300-(x+120+y)}{70} * 20 = 60 + \frac{300-280}{70} * 20 = 60 + \frac{20}{70} * 20 = 60 + \frac{40}{7} = \frac{460}{7}$
$\frac{460}{7} - \frac{2000}{x} = \frac{845}{21}$
$\frac{2000}{x} = \frac{1380 - 845}{21} = \frac{535}{21}$
x = $\frac{2000*21}{535} = \frac{400*21}{107} = \frac{8400}{107}$ (không nguyên)
Nếu $Q_3$ thuộc $[80;100)$. Ta có $Q_3 = 80 + \frac{300 - (x+120+y+70)}{60} * 20 = 80 + \frac{300 - 350}{60} * 20 = 80 - \frac{50}{3} = \frac{190}{3}$
$\frac{190}{3} - \frac{2000}{x} = \frac{845}{21}$
$\frac{2000}{x} = \frac{1330 - 845}{21} = \frac{485}{21}$
x = $\frac{2000 * 21}{485} = \frac{400 * 21}{97} = \frac{8400}{97}$ (không nguyên)
Thử $Q_1$ thuộc $[20;40)$. Khi đó $Q_1 = 20 + \frac{100-x}{120} * 20$. $Q_3$ thuộc $[40;60)$. Vậy $Q_3 = 40 + \frac{300-(x+120)}{y} * 20$.
Không khả thi
Giá trị trung bình: $\bar{x} = \frac{10x+30*120+50y+70*70+90*60}{400} = \frac{10x+3600+50y+4900+5400}{400} = \frac{10x+50y+13900}{400} = \frac{10x+50(150-x)+13900}{400} = \frac{-40x+21400}{400} = \frac{-2x+1070}{20}$
Do $x+y = 150$ và $x,y > 0$ nên $0
Ta có: $P(A) = 0.72$, $P(\overline{A}) = 0.28$, $P(B|A) = 0.32$, $P(B|\overline{A}) = 0.03$.
Ta cần tính $P(A|B)$. Theo công thức Bayes, ta có:
$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$
Trong đó $P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|\overline{A})P(\overline{A}) = 0.32 \times 0.72 + 0.03 \times 0.28 = 0.2304 + 0.0084 = 0.2388$
Vậy $P(A|B) = \frac{0.32 \times 0.72}{0.2388} = \frac{0.2304}{0.2388} \approx 0.9648 \approx 0.96$
Tuy nhiên, các đáp án đều nhỏ hơn nhiều so với 0.96. Kiểm tra lại đề bài, đề bài hỏi xác suất để người được chọn là nam, biết rằng người đó đã hoàn thành FM sub 4. Vậy ta có:
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A) + P(B|A')P(A')} = \frac{0.32 \cdot 0.72}{0.32 \cdot 0.72 + 0.03 \cdot 0.28} = \frac{0.2304}{0.2304 + 0.0084} = \frac{0.2304}{0.2388} \approx 0.9648 \approx 0.96$\nĐáp án gần nhất là 0.91.
Tính toán lại:
$P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A^c)P(A^c) = 0.32*0.72 + 0.03*0.28 = 0.2304 + 0.0084 = 0.2388$
$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)} = \frac{0.72*0.32}{0.2388} = \frac{0.2304}{0.2388} = 0.964824120603015 \approx 0.96$
Có lẽ có lỗi trong đề bài hoặc các đáp án, đáp án gần đúng nhất là 0.91, tuy nhiên kết quả đúng phải là 0.96 (làm tròn đến hàng phần trăm).
Do đó, $c = 0$. Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ trở thành $x + by + d = 0$.
Vì gốc tọa độ $O$ là vị trí của Bình nên $O(0;0;0)$ không thuộc $(\alpha)$.
Vị trí quả bóng rơi xuống có tọa độ $M(4,5; 0,5; 0)$. Vì $M$ thuộc $(\alpha)$ nên $4,5 + 0,5b + d = 0 \Leftrightarrow d = -4,5 - 0,5b$.
Khi đó, $-5b^2 - c^2 + 3d^2 = -5b^2 + 3(-4,5 - 0,5b)^2 = -5b^2 + 3(20,25 + 4,5b + 0,25b^2) = -5b^2 + 60,75 + 13,5b + 0,75b^2 = -4,25b^2 + 13,5b + 60,75$.
Tuy nhiên, vì An nằm trên Ox và cách Bình một khoảng chưa xác định nên ta không thể tìm ra giá trị cụ thể của b và d. Đề bài có lẽ đã thiếu dữ kiện.
Nhưng vì câu hỏi yêu cầu tính giá trị của $-5b^2 - c^2 + 3d^2$ và các đáp án là số cụ thể, ta xét lại giả thiết.
Vì mặt phẳng $(\alpha)$ vuông góc với mặt đất, tức là vuông góc với trục $Oz$, phương trình mặt phẳng có dạng $x + by + d = 0$ (1).
Vì gốc tọa độ $O$ là vị trí của Bình, ta giả sử An có tọa độ $A(a; 0; 0)$ và vị trí quả bóng rơi xuống là $M(a+0,5; 0; 0)$. Thay tọa độ điểm $M$ vào (1), ta có $a + 0,5 + d = 0 \Leftrightarrow d = -a - 0,5$ (2).
Mặt khác, $OM = 4,5 \Leftrightarrow (a + 0,5)^2 = 4,5^2 \Leftrightarrow a + 0,5 = 4,5 \Leftrightarrow a = 4$ (vì a > 0).
Thay $a = 4$ vào (2), ta được $d = -4,5$.
Vậy $-5b^2 - c^2 + 3d^2 = 3d^2 = 3(-4,5)^2 = 3 \cdot 20,25 = 60,75$. Như vậy đề bài vẫn có vấn đề.
Tuy nhiên, nếu đề bài cho mặt phẳng (\alpha) đi qua gốc tọa độ thì ta có $d = 0$ và $x + by + cz = 0$. Vì (\alpha) vuông góc với mặt đất nên (\alpha) // Oz, do đó $b = c = 0$ và phương trình (\alpha) trở thành $x = 0$ (vô lý vì khi đó quả bóng không thể bay tới vị trí của An).
Nếu chọn đáp án gần nhất thì ta chọn đáp án $12$.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\log _5}\left( {4x + 1} \right)\)
Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right)\) là khoảng \(\left( { - \frac{1}{4}; + \infty } \right)\)
Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) là \(f'\left( x \right) = \frac{{4 \cdot \ln 5}}{{4x + 1}}\)
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng xác định của nó
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(x = 1\) là \(y = \frac{4}{{5\ln 5}}x - \frac{4}{{5\ln 5}} + 1\)
Trong không gian \[Oxyz\] cho 3 điểm \[A\left( {3;1; - 1} \right),\;B\left( {4; - 1;2} \right),\;C\left( {1;3; - 2} \right)\] và mặt phẳng \[\left( \alpha \right):4x + 2y - z - 12 = 0\]
Đường thẳng \[BC\] nằm trong mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\]
Mặt cầu tâm \[I\left( { - 4;4; - 1} \right)\] tiếp xúc với mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] có bán kính bằng \[\frac{{26}}{{\sqrt 5 }}\]
Đường thẳng \[AB\] có phương trình tham số là \[\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = - 1 - 2t\\z = 2 - 3t\end{array} \right.\]
Với điểm \[M \in \left( \alpha \right)\] thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[\left| {\overrightarrow {MA} - 4\overrightarrow {MB} - 3\overrightarrow {MC} } \right|\] bằng \[\frac{3}{{\sqrt {21} }}\]
Một bệnh truyền nhiễm có xác suất truyền bệnh là 0,7 nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang và 0,2 nếu tiếp xúc với người bệnh mà đeo khẩu trang.
Gọi \(A\) là biến cố: “nhiễm bệnh nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang”;
\(B\) là biến cố: “nhiễm bệnh nếu tiếp xúc với người bệnh mà đeo khẩu trang”;
\(C\) là biến cố: “không bị lây bệnh khi tiếp xúc người bệnh 2 lần đều không mang khẩu trang”;
\(D\) là biến cố: “ít nhất một lần bị lây bệnh khi tiếp xúc người bệnh 2 lần, trong đó có 1 lần không mang khẩu trang và có 1 lần mang khẩu trang”
\(P\left( A \right) = 0,7.\)
\(P\left( B \right) = 0,8.\)
\(P\left( C \right) = 0,04.\)
\(P\left( D \right) = 0,76.\)
Thành phố \[X\] theo dõi tốc độ gia tăng dân số của hai khu vực \[A\] và \[B\] trong thời gian 6 năm (kể từ đầu năm 2019 đến hết năm 2024). Hình vẽ dưới đây mô tả tốc độ gia tăng dân số của hai tỉnh trên trong 6 năm, với đơn vị trên trục \[Ot\] tính bằng năm, \[t = 0\] ứng với mốc từ đầu năm 2019. Đơn vị trên trục\[\;Oy\] biểu diễn ngàn người tăng thêm mỗi năm.
Khu vực \[A\] có tốc độ gia tăng dân số theo thời gian được mô tả bởi hàm \[{P'_A}\left( t \right) = - \frac{1}{2}{t^2} + 2t + 8\]
Khu vực \[B\] có tốc độ gia tăng dân số theo thời gian được mô tả bởi hàm \[{P'_B}\left( t \right) = a - \frac{1}{2}t\]
Biết rằng \[{P_A}\left( t \right)\,,\,{P_B}\left( t \right)\] lần lượt biểu diễn tổng số dân tăng thêm tại khu vực \[A\] và \[B\] sau \[t\] năm.
Tốc độ gia tăng dân số của khu vực \[A\] với \[t = 4\] là 8 000.
Dân số khu vực \[A\] tăng thêm từ 0 đến 5 năm là 33 000 (người)
Phần diện tích tô đậm trong hình vẽ biểu diễn sự chênh lệch dân số tăng thêm giữa hai khu vực trong giai đoạn từ 0 đến 5 năm là 9 000 người
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Giáo Dục Kinh Tế Và Pháp Luật Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Lịch Sử Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Công Nghệ Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Hóa Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Sinh Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
