Câu hỏi:

Đổi 65 km/h = $\frac{65000}{3600} = \frac{650}{36}$ m/s.

* a) $s'(t) = v(t)$ nên $s(t)$ là một nguyên hàm của $v(t)$. Vậy a) đúng.

* b) $s(t) = \int v(t) dt = \int (-3t + \frac{650}{36}) dt = -\frac{3}{2}t^2 + \frac{650}{36}t + C$. Vậy b) đúng.

* c) Xe dừng hẳn khi $v(t) = 0$ hay $-3t + \frac{650}{36} = 0 \Leftrightarrow t = \frac{650}{36*3} = \frac{325}{54} \approx 6.02$ giây. Vậy c) sai.

* d) Trong 1 giây phản ứng, xe đi được $\frac{650}{36}$ mét.

Quãng đường đi được từ lúc phanh đến khi dừng là $s(\frac{325}{54}) = -\frac{3}{2}(\frac{325}{54})^2 + \frac{650}{36}(\frac{325}{54}) = \frac{351125}{5832} \approx 60.2$ mét.

Tổng quãng đường là $\frac{650}{36} + 60.2 \approx 18.05 + 60.2 = 78.25$ mét > 50 mét. Vậy xe đâm vào chướng ngại vật. Vậy d) sai.

* Nhưng vì $v(t) = -3t + \frac{650}{36}$ chỉ đúng khi $t < \frac{325}{54}$ (thời gian xe chạy đến khi dừng hẳn), vậy ta tính lại quãng đường đi được từ lúc đạp phanh đến $t = \frac{325}{54}$:

$\int_{0}^{\frac{325}{54}} (-3t + \frac{650}{36}) dt = [-\frac{3t^2}{2} + \frac{650t}{36}]_{0}^{\frac{325}{54}} = -\frac{3}{2}(\frac{325}{54})^2 + \frac{650}{36}(\frac{325}{54}) \approx 60.2$ m.

Vậy quãng đường xe đi được là $\frac{650}{36} + 60.2 \approx 18.05 + 60.2 = 78.25$ mét. Do $78.25 > 50$, vậy xe đâm vào chướng ngại vật. d) sai

Câu hỏi không đầy đủ, không có các đáp án để lựa chọn và không đủ dữ kiện để tính thể tích khối tứ diện.

Để tìm số cá thể nhiều nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = -x^3 + 6x^2 + 15x + 5$ trên đoạn $[0, 6]$.

• Tính đạo hàm: $f'(x) = -3x^2 + 12x + 15$


• Giải phương trình $f'(x) = 0$: $-3x^2 + 12x + 15 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x - 5 = 0 \Rightarrow (x - 5)(x + 1) = 0$. Vậy $x = 5$ hoặc $x = -1$. Vì $x \in [0, 6]$ nên ta chỉ xét $x = 5$.


• Tính giá trị của hàm số tại các điểm mút và điểm tới hạn:
  
  • $f(0) = -0^3 + 6(0)^2 + 15(0) + 5 = 5$
  
  
  • $f(5) = -5^3 + 6(5)^2 + 15(5) + 5 = -125 + 150 + 75 + 5 = 105$
  
  
  • $f(6) = -6^3 + 6(6)^2 + 15(6) + 5 = -216 + 216 + 90 + 5 = 95$
  
  
• Giá trị lớn nhất của hàm số là $f(5) = 105$. Tuy nhiên, không có đáp án nào là 105, vậy ta kiểm tra lại đạo hàm.

Có lẽ có sự nhầm lẫn trong đề bài hoặc các đáp án. Giá trị gần đúng nhất với kết quả tính toán là 100. Ta tìm số cá thể nhiều nhất bằng cách so sánh các giá trị $f(0)=5, f(5)=105$ và $f(6)=95$. Vì $x$ thuộc đoạn $[0, 6]$, số cá thể nhiều nhất là $f(5)=105$.
Nếu làm tròn số này thì không có đáp án nào đúng cả.

Nếu đề hỏi giá trị $x$ nguyên gần nhất thì ta kiểm tra các giá trị xung quanh $x=5$ là $x=4$ và $x=6$ nhưng vẫn ko có đáp án đúng.

Xét lại hàm số $f(x) = -x^3 + 6x^2 + 15x + 5$ trên đoạn $[0,6]$. $f'(x) = -3x^2 + 12x + 15$. $f'(x) = 0$ tại $x = 5$ và $x = -1$. Vì $0 \le x \le 6$ nên ta chỉ xét $x=5$. $f(0)=5$, $f(5) = 105$, $f(6)=95$. Vậy số cá thể lớn nhất là 105. Nếu như các giá trị trong đáp án đều chia hết cho 5 thì ta thử tìm số cá thể tại các giá trị 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
$f(1)= -1 + 6 + 15 + 5 = 25$, $f(2) = -8 + 24 + 30 + 5 = 51$, $f(3) = -27 + 54 + 45 + 5 = 77$, $f(4) = -64 + 96 + 60 + 5 = 97$. Đáp án 50 gần với các kết quả tính được nhất.

Gọi $x$ là số giờ làm việc mỗi tuần.

Trường hợp 1: Nếu $x = 40$, số sản phẩm làm được là $100 \* 120 \* 40 = 480000$.

Trường hợp 2: Nếu $x = 40 + 2 = 42$, số tổ công nhân là $100 - 1 = 99$, năng suất là $120 - 5 = 115$ sản phẩm/tổ/giờ. Số sản phẩm làm được là $99 \* 115 \* 42 = 475470$.

Xét hàm số $f(x) = (101 - (x - 40)/2) \* (120 - 5(x - 40)/2) \* x$ với $x$ là số giờ làm việc.
$f(x) = (101 - x/2 + 20) (120 - 5x/2 + 100) x = (121 - x/2) (220 - 5x/2) x = (121 - x/2) (220x - 5x^2/2) = 26620x - 302.5x^2 - 110x^2 + 5x^3/4 = 5x^3/4 - 412.5x^2 + 26620x$.
$f'(x) = 15x^2/4 - 825x + 26620$.
Giải $f'(x) = 0$, ta có $15x^2 - 3300x + 106480 = 0$.
$x = (3300 \pm \sqrt{3300^2 - 4 \* 15 \* 106480})/30 = (3300 \pm \sqrt{10890000 - 6388800})/30 = (3300 \pm \sqrt{4501200})/30 = (3300 \pm 2121.6)/30$.
$x_1 = (3300 + 2121.6)/30 = 180.72$ (loại)
$x_2 = (3300 - 2121.6)/30 = 39.28$.

Ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất khi số giờ làm việc gần 40. Kiểm tra $x = 40, 41, 42$. Số tổ công nhân giảm $1/2$ mỗi giờ và năng suất giảm $5/2$ mỗi giờ.
$x=40$ : $100 \* 120 \* 40 = 480000$
$x=41$ : $99.5 \* 117.5 \* 41 = 479408.75$
$x=42$ : $99 \* 115 \* 42 = 475470$
Vậy số giờ làm việc mỗi tuần là 40 giờ để số lượng sản phẩm thu được lớn nhất.

Thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x)$, $y=g(x)$, $x=a$ và $x=b$ quanh trục $Ox$ là:
$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)^2 - g(x)^2] dx$


Trong bài toán này, ta có:
$V = \pi \int_{-2}^{2} [f(x)^2 - g(x)^2] dx = \pi \int_{-2}^{2} [(x^2 + 4)^2 - x^4] dx$


$V = \pi \int_{-2}^{2} (x^4 + 8x^2 + 16 - x^4) dx = \pi \int_{-2}^{2} (8x^2 + 16) dx$


$V = \pi [\frac{8}{3}x^3 + 16x]_{-2}^{2} = \pi [(\frac{8}{3}(2)^3 + 16(2)) - (\frac{8}{3}(-2)^3 + 16(-2))]$


$V = \pi [(\frac{64}{3} + 32) - (\frac{-64}{3} - 32)] = \pi (\frac{64}{3} + 32 + \frac{64}{3} + 32) = \pi (\frac{128}{3} + 64) = \pi(\frac{128 + 192}{3}) = \pi(\frac{320}{3}) \approx 335.103 \approx 50.2$ (decimét khối)