Câu hỏi:

Ta có phương trình: ${\log _3}\left( {{x^2} - 3x - 5} \right) = {\log _3}x$

Điều kiện: $x > 0$ và ${x^2} - 3x - 5 > 0$

Phương trình tương đương: ${x^2} - 3x - 5 = x$

$\Leftrightarrow {x^2} - 4x - 5 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 5)(x + 1) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\x = - 1\end{array} \right.$

Vì $x > 0$ nên $x = 5$ là nghiệm duy nhất.

Kiểm tra điều kiện ${x^2} - 3x - 5 > 0$ với $x=5$: ${5^2} - 3(5) - 5 = 25 - 15 - 5 = 5 > 0$ (thỏa mãn).

Vậy phương trình có 1 nghiệm.

Gọi diện tích hồ là $S$.

Sau 10 giờ, lá bèo phủ kín hồ, tức diện tích lá bèo là $S$.

Vì sau mỗi giờ, số lượng lá bèo tăng gấp 10 lần nên:

Diện tích lá bèo sau 9 giờ là $\frac{S}{10}$.

Diện tích lá bèo sau 8 giờ là $\frac{S}{100}$.

Diện tích lá bèo sau 7 giờ là $\frac{S}{1000}$.

Ta cần tìm thời gian $t$ sao cho diện tích lá bèo lớn hơn $\frac{1}{4}S$.

$\frac{1}{4}S = 0.25S$.

$\frac{S}{10} = 0.1S < 0.25S$.

$\frac{S}{100} = 0.01S < 0.25S$.

Vậy sau 9 giờ thì số lá bèo phủ kín hơn một phần tư hồ.

Bài toán yêu cầu tìm cạnh đáy của hình chóp tứ giác đều sao cho thể tích lớn nhất khi biết diện tích toàn phần. Đây là một bài toán tối ưu sử dụng đạo hàm. Ta cần thiết lập công thức tính thể tích theo cạnh đáy, sau đó tìm giá trị lớn nhất của hàm số này.

Các bước giải:

• Gọi $x$ là cạnh đáy của hình chóp ($x > 0$).
• Gọi $h$ là chiều cao của mặt bên (trung đoạn) của hình chóp.
• Diện tích đáy: $S_{đáy} = x^2$.
• Diện tích xung quanh: $S_{xq} = 4 * (1/2) * x * h = 2xh$.
• Diện tích toàn phần: $S_{tp} = S_{đáy} + S_{xq} = x^2 + 2xh = 8$ (dm$^2$).
• Từ đó, ta có $h = (8 - x^2) / (2x)$.
• Chiều cao $H$ của hình chóp: $H = \sqrt{h^2 - (x/2)^2} = \sqrt{((8 - x^2)/(2x))^2 - (x/2)^2} = \sqrt{(64 - 16x^2 + x^4)/(4x^2) - x^2/4} = \sqrt{(64 - 16x^2 + x^4 - x^4)/(4x^2)} = \sqrt{(64 - 16x^2)/(4x^2)} = \sqrt{(16 - 4x^2)/(x^2)} = (2/x) * \sqrt{4 - x^2}$.
• Thể tích của hình chóp: $V = (1/3) * S_{đáy} * H = (1/3) * x^2 * (2/x) * \sqrt{4 - x^2} = (2x/3) * \sqrt{4 - x^2}$.
• Tìm giá trị lớn nhất của $V(x)$ bằng cách xét đạo hàm $V'(x)$ và giải phương trình $V'(x) = 0$.
• $V'(x) = (2/3)*\sqrt{4-x^2} + (2x/3)*(1/2)*(4-x^2)^{-1/2}*(-2x) = (2/3)*\sqrt{4-x^2} - (2x^2)/(3*\sqrt{4-x^2}) = (2(4-x^2) - 2x^2) / (3*\sqrt{4-x^2}) = (8 - 4x^2)/(3*\sqrt{4-x^2})$.
• $V'(x) = 0$ khi $8 - 4x^2 = 0$, suy ra $x^2 = 2$, vậy $x = \sqrt{2}$ (vì $x > 0$).
• Kiểm tra lại điều kiện $4 - x^2 > 0$, tức $x < 2$. Vậy $x = \sqrt{2}$ thỏa mãn.
• Kết luận: Cạnh đáy của hình chóp là $x = \sqrt{2} \approx 1.41$ dm.

Gọi A là biến cố "Lần thứ ba An lấy được thẻ ghi số lẻ", và B là biến cố "Lần thứ hai An lấy được thẻ ghi số chẵn".
Ta cần tính xác suất $P(A|B)$.

Ban đầu, có 15 thẻ, trong đó có 8 thẻ mang số lẻ và 7 thẻ mang số chẵn.
Khi An lấy ra một thẻ số chẵn ở lần thứ hai, thì còn lại 14 thẻ, trong đó có 8 thẻ mang số lẻ và 6 thẻ mang số chẵn.
Vậy, $P(A|B) = \frac{8}{14} = \frac{4}{7} \approx 0.57$.

Tuy nhiên, đề bài hỏi xác suất có điều kiện khi biết lần thứ hai An lấy được thẻ ghi số chẵn. Sau khi An lấy ra một thẻ số chẵn ở lần thứ hai, số thẻ còn lại là 14. Số thẻ lẻ vẫn là 8. Vậy xác suất để lần thứ ba An lấy được thẻ lẻ là $\frac{8}{14} = \frac{4}{7} \approx 0.5714$.

Nhưng đề bài có vẻ không đúng. Cần xét 2 trường hợp xảy ra ở lần đầu:

Trường hợp 1: Lần đầu An lấy được thẻ số chẵn.
Số thẻ còn lại là 14. Số thẻ chẵn còn lại là 6, số thẻ lẻ còn lại là 8.
Xác suất để lần thứ hai An lấy được thẻ số chẵn là $\frac{7}{15}$. Sau khi An lấy ra một thẻ số chẵn ở lần thứ hai, số thẻ còn lại là 14. Số thẻ lẻ vẫn là 8. Vậy xác suất để lần thứ ba An lấy được thẻ lẻ là $\frac{8}{14}$.

Trường hợp 2: Lần đầu An lấy được thẻ số lẻ.
Số thẻ còn lại là 14. Số thẻ chẵn còn lại là 7, số thẻ lẻ còn lại là 7.
Xác suất để lần thứ hai An lấy được thẻ số chẵn là $\frac{8}{15}$. Sau khi An lấy ra một thẻ số chẵn ở lần thứ hai, số thẻ còn lại là 14. Số thẻ lẻ vẫn là 8. Vậy xác suất để lần thứ ba An lấy được thẻ lẻ là $\frac{8}{14}$.

Vậy xác suất cần tìm là $\frac{8}{14} = \frac{4}{7} \approx 0.5714$.
Tuy nhiên, không có đáp án nào gần với kết quả này.

Xem xét lại bài toán, ta cần tính $P(A|B)$ với A là biến cố lần 3 lấy được thẻ lẻ, B là biến cố lần 2 lấy được thẻ chẵn. Ta không quan tâm đến lần 1.
Vậy sau khi lần 2 lấy được thẻ chẵn thì còn lại 14 thẻ, trong đó có 8 thẻ lẻ. Vậy xác suất là $\frac{8}{14} = \frac{4}{7} \approx 0.5714$ làm tròn thành 0.57. Không có đáp án nào thỏa mãn.
Có thể đề đã cho thiếu dữ kiện hoặc đáp án sai.
Nếu ta giả sử lần 1 lấy được thẻ gì đó không quan trọng, và lần 2 lấy được thẻ chẵn, thì còn lại 14 thẻ. Trong đó có 8 thẻ lẻ. Vậy xác suất lần 3 lấy được thẻ lẻ là $\frac{8}{14} = 0.57$ (làm tròn).

Giả sử lần thứ hai An lấy được thẻ ghi số chẵn, thì còn lại 14 thẻ.
Số thẻ lẻ còn lại là 8. Vậy xác suất để lần thứ ba An lấy được thẻ lẻ là $8/14 \approx 0.57$. Đáp án gần nhất là 0.43, có lẽ có lỗi in ấn ở đề bài hoặc đáp án.

Xét trường hợp khác, nếu như đã có 1 thẻ chẵn bị lấy ra rồi, thì còn lại 14 thẻ. Nếu tính cả 2 lần rút trước, ta sẽ chia trường hợp:
* TH1: Lần 1 rút chẵn, lần 2 rút chẵn: Xác suất = (7/15)*(6/14) = 42/210. Khi đó còn 8 thẻ lẻ, 6 thẻ chẵn. => P(lẻ) = 8/13
* TH2: Lần 1 rút lẻ, lần 2 rút chẵn: Xác suất = (8/15)*(7/14) = 56/210. Khi đó còn 7 thẻ lẻ, 6 thẻ chẵn. => P(lẻ) = 7/13

=> P(lẻ|chẵn) = (42/210)*(8/13) + (56/210)*(7/13) = 336/2730 + 392/2730 = 728/2730 = 0.2667