Câu hỏi:

Gọi $M$ là trung điểm của $AC$. Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $BG = \frac{2}{3}BM$. Ta có $BD \perp (SAC)$ (do $BD \perp AC$ và $BD \perp SA$). Dựng $GH \perp AC$ tại $H$. Vì $SG \perp (ABCD)$ nên $SG \perp BD$. Ta có $AC \perp BD$ suy ra $BD \perp (SAC)$. Do đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng $SG$ và $BD$ là khoảng cách từ $G$ đến mặt phẳng $(SAC)$, tức là độ dài đoạn $GH$. $BM = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông cân $ABC$). $BG = \frac{2}{3}BM = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{3}$. Vì $GH \parallel BM$ nên $\frac{GH}{BM} = \frac{AG}{AM} = \frac{1}{3} \Rightarrow GH = \frac{1}{3}BM = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{6}$. Vậy khoảng cách giữa $SG$ và $BD$ là $\frac{a\sqrt{2}}{6}$.