Câu hỏi:

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $CD$. Khi đó $AH \perp CD$.
Vì $S.ABCD$ là hình chóp đều nên hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ trùng với tâm của hình thoi $ABCD$.
Gọi $K$ là hình chiếu của $A$ lên $SH$. Khi đó $AK \perp (SCD)$.
Ta có $AH = a\sin{60^\circ} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Xét tam giác $SAC$ vuông tại $A$, ta có $SA = \sqrt{SC^2 - AC^2} = \sqrt{(a\sqrt{5})^2 - a^2} = 2a$.
$\frac{1}{AK^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{AH^2} = \frac{1}{4a^2} + \frac{4}{3a^2} = \frac{19}{12a^2}$.
$\Rightarrow AK = a\sqrt{\frac{12}{19}} = \frac{a\sqrt{15}}{5} \Rightarrow \frac{12}{19} = \frac{3}{5} \Rightarrow \frac{m}{n} = \frac{3}{5}$ (vô lý)
Ta có $d(A, (SCD)) = \frac{a\sqrt{15}}{5}$
Gọi $O$ là tâm hình thoi. Vì các cạnh bên bằng nhau nên $SO \perp (ABCD)$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên $CD$. Suy ra $CD \perp (SOH)$.
Kẻ $OK \perp SH$. Suy ra $OK \perp (SCD)$.
Ta có $d(A,(SCD)) = 2d(O,(SCD)) = 2OK = \frac{a\sqrt{15}}{5} \Rightarrow OK = \frac{a\sqrt{15}}{10}$.
Ta có $OH = \frac{1}{2}AH = \frac{a\sqrt{3}}{4}$.
$\frac{1}{SO^2} = \frac{1}{OK^2} - \frac{1}{OH^2} = \frac{100}{15a^2} - \frac{16}{3a^2} = \frac{100 - 80}{15a^2} = \frac{20}{15a^2} = \frac{4}{3a^2}$.
$\Rightarrow SO = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Vậy $SO^2 + OA^2 = SA^2 \Rightarrow \frac{3a^2}{4} + OA^2 = 5a^2 \Rightarrow OA^2 = \frac{17a^2}{4} \Rightarrow OA = \frac{a\sqrt{17}}{2}$.
Vì $O$ là tâm hình thoi nên $OA = \frac{AC}{2} \Rightarrow AC = a\sqrt{17}$.
$S_{ABCD} = \frac{1}{2}AC.BD \Rightarrow BD = \frac{2S_{ABCD}}{AC} = \frac{2a^2\sin{60^\circ}}{a\sqrt{17}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{a\sqrt{17}} = a\sqrt{\frac{3}{17}}$.
Vậy thể tích khối chóp $V = \frac{1}{3}SO.S_{ABCD} = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.a^2.\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^3}{4}$.