Câu hỏi:

Mặt phẳng $(Q)$ song song với mặt phẳng $(P)$ nên $(Q)$ có dạng: $2x - y + 3z + d = 0$.

$(Q)$ đi qua $M(1;2;-3)$ nên $2(1) - 2 + 3(-3) + d = 0 \Leftrightarrow 2 - 2 - 9 + d = 0 \Leftrightarrow d = 9$.

Vậy phương trình mặt phẳng $(Q)$ là: $2x - y + 3z + 9 = 0$.

Ta có: $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CC'}$

Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình lập phương cạnh $a$ nên:

• $AC = a\sqrt{2}$ (đường chéo hình vuông)
• $CC' = a$
• $AC \perp CC'$

Do đó, độ dài $AC' = \sqrt{AC^2 + CC'^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + a^2} = \sqrt{2a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Điều kiện: $4-x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 4$

Bất phương trình tương đương:

$4-x > (x+2)^2 \Leftrightarrow 4-x > x^2 + 4x + 4 \Leftrightarrow x^2 + 5x < 0 \Leftrightarrow -5 < x < 0$.

Kết hợp với điều kiện $x \le 4$, ta có $-5 < x < 0$.

Vì $x$ là nghiệm nguyên nên $x \in \{-4, -3, -2, -1\}$.

Vậy, có 4 nghiệm nguyên của bất phương trình.

Ta có:

• $\int_{0}^{1} [f(x) + 2x] dx = \int_{0}^{1} f(x) dx + \int_{0}^{1} 2x dx$
• $\int_{0}^{1} f(x) dx = 2$ (theo giả thiết)
• $\int_{0}^{1} 2x dx = x^2 \Big|_{0}^{1} = 1^2 - 0^2 = 1$

Do đó, $\int_{0}^{1} [f(x) + 2x] dx = 2 + 1 = 3$.

Từ bảng biến thiên, ta thấy:

• $\lim_{x \to \infty} f(x) = 1$ nên $y=1$ là một tiệm cận ngang.
• $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1$ nên $y=1$ là một tiệm cận ngang.
• $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \infty$ nên $x=1$ là một tiệm cận đứng.
• $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \infty$ nên $x=1$ là một tiệm cận đứng.

Vậy, đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng. Tổng số tiệm cận là $1+1=2$.