Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?

a) \(f\left( 0 \right)=2\cos 0+0=2\) và \(f\left( \frac{\pi }{2} \right)=2cos\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}\). Đúng.

b) Đạo hàm của \(f\left( x \right)=2\cos x+x\) là \({f}'\left( x \right)=-2\sin x+1\). Sai.

c) \({f}'\left( x \right)=-2\sin x+1=0\) khi \(\sin x=\frac{1}{2}\), suy ra \(x=\frac{\pi }{6}\) là nghiệm của phương trình \({f}'\left( x \right)=0\) trên đoạn \(\left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]\). Đúng.

d) \(f\left( x \right)=2\cos x+x\) đạt giá trị lớn nhất khi \(\cos x=-1\) và \(x=\frac{\pi }{2}\).

Do đó, giá trị lớn nhất của \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]\) là \(\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}+\sqrt{3}\). Đúng.

a) Tốc độ ban đầu của ô tô là 36 km/h = 10 m/s.

Quãng đường ô tô đi được trong 2 giây đầu tiên là:

\({{S}_{1}}=10.2=20\) m.

Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là:

\({{S}_{2}}=200-20=180\) m. Đúng.

b) Ta có \(v\left( t \right)=at+b\).

Từ điều kiện \(v\left( 2 \right)=10\) và \(v\left( 12 \right)=18\) vì ô tô nhập làn sau 12 giây và đã tăng tốc trong 24 giây, ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{matrix}   2a+b=10  \\   12a+b=18  \\\end{matrix} \right.\)

Giải hệ phương trình, ta được \(a~=~1\) và \(b~=~8\).

Do đó, \(b~=~8\). Đúng.

c) Quãng đường \(S\left( t \right)\) mà ô tô đi được trong thời gian \(t\) giây \(0\le t\le 24\) kể từ khi tăng tốc được tính theo công thức:

\(S\left( t \right)=\mathop{\int }_{0}^{t}v\left( t \right)dt=\mathop{\int }_{0}^{t}\left( at+b \right)dt=\frac{1}{2}a{{t}^{2}}+bt\).

Do đó, \(S\left( t \right)=\frac{1}{2}a{{t}^{2}}+bt=\frac{1}{2}{{t}^{2}}+8t\). Sai.

d) Tốc độ của ô tô sau 24 giây là:

\(v\left( 24 \right)=24+8=32~ m/s = 115,2~ km/h.\)

Do đó, tốc độ của ô tô sau 24 giây không vượt quá tốc độ tối đa cho phép là 100 km/h. Sai.

a) Đúng: Số phần tử không gian mẫu \(n(\Omega )=200\).

Số phần tử của biến cố \(B\) là \(n(B)=105\).

Xác suất của biến cố \(B\) là: \(P(B)=\frac{n(B)}{n(\Omega )}=\frac{21}{40}\).

\(\Rightarrow \) Xác suất của \(P(\overline{B})=1-P(B)=\frac{19}{40}\).

b) Sai: Người được phỏng vấn thực sự sẽ mua sản phẩm là \(70\%\) của số người trả lời "sẽ mua" và \(30\%\) của những người trả lời " không mua".

Vậy số phần tử của biến cố \(A\) là \(n(A)=70\%.105+30\%.95=102\).

Xác suất của biến cố \(A\) là: \(P(A)=\frac{102}{200}=0,51\).

Theo công thức tính xác suất có điều kiện :

\(P(A|B)=\frac{n(A\cap B)}{n(B)}=0,97\).

c) Đúng: \(P(A)=\frac{102}{200}=0,51\).

d) Sai: Những người được phỏng vấn thực sự sẽ mua sản phầm là 102 người

Trong nhóm người được phỏng vấn nói "sẽ mua" có \(70\%.105=73,5\) người mua.

Vậy trong những người được phỏng vấn thực sự sẽ mua có \(\frac{73,5}{102}\cdot 100\approx 72\%\) người được phỏng vấn trả lời sẽ mua.

a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(MN\) là:

\(\overrightarrow{MN}=\left( -12;-32;16 \right)=4\left( -3;-8;4 \right)\).

Phương trình tham số của đường thẳng \(MN\) là: \(\left\{ \begin{matrix}   x=6-3t  \\   y=20-8t  \\   z=4t  \\\end{matrix} \right.\), \(t\in R\). 

Đúng.

b) Để tìm vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dõi, ta cần tìm điểm giao của đường thẳng \(MN\) với mặt cầu có tâm \(O\left( 0;0;0 \right)\) và bán kính \(R~=~6400\) km.

Phương trình mặt cầu là: \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{6400}^{2}}\).

Thay \(x~=~6~-~3t\), \(y~=~20~-~8t\) và \(z~=~4t\) vào phương trình mặt cầu, ta được:

\(\begin{array}{*{35}{l}}   {} & {{\left( 6-3t \right)}^{2}}+{{\left( 20-8t \right)}^{2}}+{{\left( 4t \right)}^{2}} & ={{6400}^{2}}  \\   \Leftrightarrow  & 9{{t}^{2}}-12t+36+64{{t}^{2}}-320t+400+16{{t}^{2}} & ={{6400}^{2}}  \\   \Leftrightarrow  & 97{{t}^{2}}-332t-6399964 & =0.  \\\end{array}\)

Giải phương trình, ta tìm được \(t\approx -12,17\) hoặc \(t\approx 53,28\).

Thay \(t\approx -12,17\) vào phương trình tham số của đường thẳng \(MN\), ta được vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dõi là điểm \(A\left( -3;-4;12 \right)\). Sai.

c) Vị trí cuối cùng mà thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi là điểm giao của đường thẳng \(MN\) với mặt cầu có tâm \(O\left( 0;0;0 \right)\) và bán kính \(R~=~6600\) km.

Phương trình mặt cầu là: \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{6600}^{2}}\).

Thay \(x~=~6~-~3t\), \(y~=~20~-~8t\) và \(z~=~4t\) vào phương trình mặt cầu, ta được:

\(\begin{array}{*{35}{l}}   {} & {{\left( 6-3t \right)}^{2}}+{{\left( 20-8t \right)}^{2}}+{{\left( 4t \right)}^{2}} & ={{6600}^{2}}  \\   \Leftrightarrow  & 9{{t}^{2}}-12t+36+64{{t}^{2}}-320t+400+16{{t}^{2}} & ={{6600}^{2}}  \\   \Leftrightarrow  & 97{{t}^{2}}-332t-6599964 & =0.  \\\end{array}\)

Giải phương trình, ta tìm được \(t\approx -12,84\) hoặc \(t\approx 53,71\).

Thay \(t\approx 53,71\) vào phương trình tham số của đường thẳng \(MN\), ta được vị trí cuối cùng mà thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi.

Khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng là khoảng cách giữa hai điểm \(A\) và điểm cuối cùng, tính bằng công thức:

\(\begin{array}{*{35}{l}}   d & =\sqrt{{{\left( -3-\left( 6-3.53,71 \right) \right)}^{2}}+{{\left( -4-\left( 20-8.53,71 \right) \right)}^{2}}+{{\left( 12-\left( 4.53,71 \right) \right)}^{2}}}   \approx 18900km.  \\\end{array}\)Đúng.

d) Thời gian thiên thạch di chuyển từ \(M\) đến \(N\) là:

\(t=\frac{\sqrt{{{\left( 6-\left( -6 \right) \right)}^{2}}+{{\left( 20-\left( -12 \right) \right)}^{2}}+{{\left( 0-16 \right)}^{2}}}}{3}=6\) phút.

Do đó, thời gian thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 3 phút thì thời gian nó di chuyển từ \(M\) đến \(N\) là 6 phút. Đúng.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(A{A}'\) và \(BC\) bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên \(A{A}'\) đến mặt phẳng \(\left( BC{C}'{B}' \right)\).

Chọn điểm \(A\) trên đường thẳng \(A{A}'\).

Ta có: \(AH\bot BC\) và \(AH\bot B{B}'\), suy ra \(AH\bot \left( BC{C}'{B}' \right)\).

Do đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng \(A{A}'\) và \(BC\) bằng \(AH\).

Xét tam giác vuông \(ABC\), ta có:

\(\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{A{{B}^{2}}}+\frac{1}{A{{C}^{2}}}=\frac{1}{{{5}^{2}}}+\frac{1}{{{7}^{2}}}=\frac{74}{1225}\).

Suy ra: \(AH=\sqrt{\frac{1225}{74}}\approx 4,1\) m.