Các thiên thạch có đường kính lớn hơn \(140~m\) và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn \(7 ~500~ 000~ km\) được coi là những vật thể có khả năng va chạm gây nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo dõi những thiên thạch này, người ta đã thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử có một hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao không vượt quá \(6 ~600 ~km\) so với mực nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính \(6 ~400 ~km\). Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) trong không gian có gốc \(O\) tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là \(1000 ~km\). Một thiên thạch (coi như một hạt) chuyển động với tốc độ không đổi theo một đường thẳng từ điểm \(M\left( 6;20;0 \right)\) đến điểm \(N\left( -6;-12;16 \right)\).

Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(A{A}'\) và \(BC\) bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên \(A{A}'\) đến mặt phẳng \(\left( BC{C}'{B}' \right)\).

Chọn điểm \(A\) trên đường thẳng \(A{A}'\).

Ta có: \(AH\bot BC\) và \(AH\bot B{B}'\), suy ra \(AH\bot \left( BC{C}'{B}' \right)\).

Do đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng \(A{A}'\) và \(BC\) bằng \(AH\).

Xét tam giác vuông \(ABC\), ta có:

\(\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{A{{B}^{2}}}+\frac{1}{A{{C}^{2}}}=\frac{1}{{{5}^{2}}}+\frac{1}{{{7}^{2}}}=\frac{74}{1225}\).

Suy ra: \(AH=\sqrt{\frac{1225}{74}}\approx 4,1\) m.

Người chơi có thể lựa chọn 4 cách xuất phát từ một trong 4 trụ A, B, C, D.

Giả sử người chơi xuất phát từ trụ \(A\).

Để đi qua tất cả các trụ còn lại đúng một lần và quay trở về A, người chơi có thể đi theo một trong các đường đi:

Do đó, tổng số thử thách của đường đi nhận giá trị nhỏ nhất là 43.

\(\begin{align}  & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   MA=3  \\   MB=6  \\   MC=5  \\   MD=13  \\\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   {{(a-3)}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}+{{c}^{2}}=9  \\   {{(a-3)}^{2}}+{{(b-6)}^{2}}+{{(c-6)}^{2}}=36  \\   {{(a-4)}^{2}}+{{(b-6)}^{2}}+{{(c-2)}^{2}}=25  \\   {{(a-6)}^{2}}+{{(b-2)}^{2}}+{{(c-14)}^{2}}=169  \\\end{array} \right. \right. \\  & \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-6a-2b+1=0  \\   {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-6a-12b-12c+45=0  \\   {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-8a-12b-4c+31=0  \\   {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-12a-4b-28c+67=0  \\\end{array} \right. \\  & \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   6a+2b-1-6a-12b-12c+45=0  \\   6a+2b-1-8a-12b-4c+31=0  \\   6a+2b-1-12a-4b-28c+67=0  \\\end{matrix} \right. \\  & \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   10b+12c=44  \\   2a+10b+4c=30  \\   6a+2b+28c=66  \\\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   a=1  \\   b=2  \\   c=2  \\\end{array} \right. \right. \\  & \Rightarrow M(1;2,2)\Rightarrow MO=\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}=3. \\ \end{align}\)

Diện tích của phần sân chơi bằng diện tích của hình chữ nhật trừ đi diện tích của hai phần trồng hoa.

Diện tích của hình chữ nhật là: \(60.80=4800{{m}^{2}}\).

Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.

Phương trình Parabol có dạng: \(y=a{{x}^{2}}+b\) (vì đỉnh parabol thuộc trục tung).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   y(0)=20  \\   y(30)=0  \\\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   b=20  \\   a\cdot {{30}^{2}}+20=0  \\\end{array}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   a=-\frac{1}{45}\text{ }  \\   b=20  \\\end{array} \right. \right. \right.\)

Phương trình Parabol dưới là \(y=-\frac{1}{45}{{x}^{2}}+20\).

Diện tích của mỗi phần trồng hoa bằng:

\(\int_{-30}^{30}{\left( -\frac{1}{45}{{x}^{2}}+20 \right)}dx=800{{m}^{2}}.\)

Diện tích của phần sân chơi là: \(4800-2.800=3200{{m}^{2}}\).

Lợi nhuận của doanh nghiệp khi sản xuất \(x\) sản phẩm là:

\(\begin{array}{*{35}{l}}   L\left( x \right) & =F\left( x \right)-xG\left( x \right)  \\   {} & ={{x}^{2}}-1999{{x}^{2}}+1001000x+250000-x\left( x+1000+\frac{250000}{x} \right)  \\   {} & ={{x}^{3}}-2000{{x}^{2}}+1000000x.  \\\end{array}\)

\({{L}^{\prime }}(x)=3{{x}^{2}}-4000x+1000000\)

\({{L}^{\prime }}(x)=3{{x}^{2}}-4000x+1000000=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   x=1000  \\   x=\frac{1000}{3}  \\\end{array}. \right.\)

Trong khoảng \((0;500),{{L}^{\prime }}(x)=0\) khi \(x=\frac{1000}{3}\).

Ta có \(L(1)=998001,L\left( \frac{1000}{3} \right)\approx 148148148,L(500)=125000000\).

Khi đó, \(\underset{_{[0:500]}}{\mathop{\max }}\,L(x)=L\left( \frac{1000}{3} \right)\).

Do số sản phẩm là số nguyên, nên ta xét giá trị của hàm số tại hai điểm nguyên trước và sau giá trị \(\frac{1000}{3}\) là \(333\) và \(334\).

Ta có: \(f(333)=148148037;f(334)=148147704\)

\(\Rightarrow f(333)>f(334).\)

Do đó, doanh nghiệp nên sản xuất \(333\) sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất.