Câu hỏi:

Ta có $A + B + C = \pi$ (tổng ba góc trong một tam giác)
Suy ra $B + C = \pi - A$.
Vậy $P = \sin A \cdot \cos (\pi - A) + \cos A \cdot \sin (\pi - A)$
$= \sin A \cdot ( - \cos A) + \cos A \cdot \sin A$
$= - \sin A \cos A + \sin A \cos A = 0$.

Ta có: $AC^2 + AB^2 - BC^2 = \sqrt{3} AC \cdot AB$. Áp dụng định lý cosin, $BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2AC \cdot AB \cdot \cos A$. Suy ra $AC^2 + AB^2 - BC^2 = 2AC \cdot AB \cdot \cos A$. Do đó, $2AC \cdot AB \cdot \cos A = \sqrt{3} AC \cdot AB$, vậy $\cos A = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Vậy $A = 30^{\circ}$. Khi đó, $\sin (B+C) = \sin (180^{\circ} - A) = \sin A = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} = 0.5$.

Gọi $A$ là tập hợp học sinh tham gia điền kinh, $B$ là tập hợp học sinh tham gia bóng đá. Số học sinh lớp 10A tham gia ít nhất một môn là $40 - 16 = 24$. Ta có $|A| = 18$, $|B| = 14$, $|A \cup B| = 24$. Áp dụng công thức: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ $24 = 18 + 14 - |A \cap B|$ $|A \cap B| = 18 + 14 - 24 = 8$ Số học sinh chỉ tham gia điền kinh là $|A| - |A \cap B| = 18 - 8 = 10$. Số học sinh chỉ tham gia bóng đá là $|B| - |A \cap B| = 14 - 8 = 6$. Vậy số học sinh chỉ tham gia một môn là $10 + 6 = 16$. Số học sinh chỉ tham gia một môn trong hai môn trên là 16.

Gọi x là số xe loại A và y là số xe loại B cần thuê. Ta có các điều kiện: Số người: 20x + 10y >= 100 hay 2x + y >= 10 Số hàng: 0.5x + 2y >= 6 hay x + 4y >= 12 Số xe: 0 <= x <= 8 và 0 <= y <= 6 Mục tiêu là tối thiểu hóa chi phí: C = 4x + 3y (triệu đồng). Xét các phương án: Phương án 1: x=5, y=0. Khi đó C = 4(5) + 3(0) = 20. Kiểm tra: 2(5)+0 = 10 >= 10 (đúng), 5+4(0) = 5 >= 12 (sai). Loại. Phương án 2: x=2, y=4. Khi đó C = 4(2) + 3(4) = 8+12 = 20. Kiểm tra: 2(2)+4 = 8 >= 10 (sai). Loại. Phương án 3: x=0, y=6. Khi đó C = 4(0) + 3(6) = 18. Kiểm tra: 2(0)+6 = 6 >= 10 (sai). Loại. Phương án 4: x=3, y=3. Khi đó C = 4(3) + 3(3) = 12+9 = 21. Kiểm tra: 2(3)+3 = 9 >= 10 (sai). Loại. Tuy nhiên không có đáp án nào đúng. Đáp án gần đúng nhất là thuê 0 xe loại A và 6 xe loại B.

Gọi $x = AH, y = BH$. Ta có:

• $OH = x \cdot tan(30^\circ) = y \cdot tan(80^\circ)$
• $CH = x \cdot tan(50^\circ) = y \cdot tan(70^\circ)$
• $x+y = l = 20$

Từ (1) suy ra $y = x \cdot \dfrac{tan(30^\circ)}{tan(80^\circ)}$. Thay vào (3) ta có:
$x + x \cdot \dfrac{tan(30^\circ)}{tan(80^\circ)} = 20 \Leftrightarrow x = \dfrac{20}{1 + \dfrac{tan(30^\circ)}{tan(80^\circ)}} \approx 17.25{\rm{m}}$
Suy ra $h = CH = x \cdot tan(50^\circ) = 17.25 \cdot tan(50^\circ) \approx 34.24\,\,{\rm{m}}$