Một người đưa thư xuất phát từ bưu điện (vị trí \(A\() và phải đi qua các con đường để phát thư rồi quay lại bưu điện. Sơ đồ các con đường cần đi qua và độ dài của chúng (tính theo mét) được biểu diễn ở hình vẽ dưới. Hỏi người đó phải đi như thế nào để đường đi là ngắn nhất?

Do \(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(MA=MB\) nên \(M\) thuộc giao tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \(\left( Q \right)\), trong đó \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\).

+ Tìm được \(\left( Q \right):\,y+z=0\).

+ Khi đó \(M\) thuộc đường thẳng \(d:\left\{ \begin{align} & x=1+3t \\  & y=-t \\  & z=t \\ \end{align} \right.\) với \(d=\left( P \right)\cap \left( Q \right)\Rightarrow M\left( 1+3t\,;\,-t\,;\,t \right)\).

+ Ta có \(\overrightarrow{AM}=\left( 3t-1\,;\,-t-2\,;\,t \right)\,,\,\overrightarrow{BM}=\left( 3t-1\,;\,-t\,;\,t+2 \right)\).

\(\begin{array}{*{35}{l}}  \Rightarrow \cos \left( \overrightarrow{AM}\overrightarrow{BM} \right) & =\frac{{{\left( 3t-1 \right)}^{2}}+2\left( {{t}^{2}}+2t \right)}{{{\left( 3t-1 \right)}^{2}}+{{t}^{2}}+{{\left( t+2 \right)}^{2}}} \\  {} & =\frac{11{{t}^{2}}-2t+1}{11{{t}^{2}}-2t+5}=1-\frac{4}{11{{t}^{2}}-2t+5}. \\\end{array}\)

Suy ra \(\widehat{AMB}\) lớn nhất khi và chỉ khi \(t=\frac{1}{11}\Rightarrow M\left( \frac{14}{11}\,;\,-\frac{1}{11}\,;\,\frac{1}{11} \right)\).

\(\Rightarrow S=a+b+c=\frac{14}{11}\approx 1,27\).

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ: 

Diện tích của mỗi phần trồng hoa bằng diện tích của một parabol.

Giả sử xét một cạnh hình vuông làm trục hoành x, với trung điểm của các cạnh tại gốc tọa độ (0;0).

Đỉnh của parabol nằm tại điểm (0; 25) và đi qua hai điểm trên cạnh đáy (-60;0) và (60;0) (vì cạnh hình vuông là 120m).

Phương trình parabol có dạng: \(y=a{{x}^{2}}+25\).

Vì parabol đi qua điểm (60;0) nên ta có:

\(0=a{{\left( 60 \right)}^{2}}+25\Rightarrow a=-\frac{25}{3600}=-\frac{1}{144}\).

Phương trình parabol là: \(y=-\frac{1}{144}{{x}^{2}}+25\).

Diện tích của phần trồng cây xanh bằng:

\(~S=~2.\int\limits_{-60}^{60}{\left( -\frac{1}{144}{{x}^{2}}+25 \right)~}dx=4000{{m}^{2}}\) .

Lợi nhuận của nhà máy A khi sản xuất \(x\) tấn sản phẩm là:

\(\begin{array}{*{35}{l}}  H\left( x \right) & =xP\left( x \right)-C\left( x \right) \\  {} & =x\left( 45-0,001{{x}^{2}} \right)-\left( 100+30x \right) \\  {} & =-0,001{{x}^{3}}+15x-100,\,\,0\le x\le 100. \\\end{array}\)

\(H'(x)=~-0,003{{x}^{2}}~+15\) .

\(H'(x)=~0\Leftrightarrow ~-0,003{{x}^{2}}+15=~0~~\Leftrightarrow \) \(x=50\sqrt{2}\) (chọn).

Ta có: \(H\left( 0 \right)=-100,\ H\left( 50\sqrt{2} \right)=500\sqrt{2}-100,\ H\left( 100 \right)=400\).

Do đó: \(\underset{\left[ 0;100 \right]}{\mathop{\max }}\,H\left( x \right)=H\left( 50\sqrt{2} \right)=500\sqrt{2}-100\).

Vậy nhà máy A nên sản xuất 70,7 tấn sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Gọi \(A\) là biến cố “An lấy được thẻ ghi số chẵn”; \(B\) là biến cố “X chia hết cho 2”.

Ta cần tính \(P\left( A|B \right)\). Ta có:

\(P\left( A|B \right)=\frac{P\left( A \right).P\left( B|A \right)}{P\left( A \right).P\left( B|A \right)+P\left( \overline{A} \right).P\left( B|\overline{A} \right)}\)

\(P\left( A \right)=\frac{4}{9}\,;\,P\left( \overline{A} \right)=\frac{5}{9}\,;\,P\left( B|A \right)=1-P\left( \overline{B}|A \right)=1-\frac{C_{6}^{3}}{C_{10}^{3}}=\frac{5}{6}\).

\(P\left( B|\overline{A} \right)=1-P\left( \overline{B}|\overline{A} \right)=1-\frac{C_{5}^{3}}{C_{11}^{3}}=\frac{31}{33}.\)

Vậy \(P\left( A|B \right)=\frac{22}{53}\approx 0,42\).

Ta có: \(\int{f}(x)dx=\int{\left( {{e}^{x}}+2 \right)}dx={{e}^{x}}+2x+C\).