Xét sự hội tụ của chuỗi số \[ Q = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \left(\frac{k+2025}{3k-2020}\right)^k. \]

Để tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa \[ K(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(x-2)^k}{\sqrt{k}} \], chúng ta sử dụng tiêu chuẩn d'Alembert để tìm bán kính hội tụ và sau đó kiểm tra các điểm mút của khoảng hội tụ.

1. Tìm bán kính hội tụ (R):
Chúng ta áp dụng tiêu chuẩn d'Alembert cho chuỗi với $a_k = \frac{(x-2)^k}{\sqrt{k}}$.
$$ L = \lim_{k \to \infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| = \lim_{k \to \infty} \left| \frac{(x-2)^{k+1}}{\sqrt{k+1}} \cdot \frac{\sqrt{k}}{(x-2)^k} \right| $$
$$ L = \lim_{k \to \infty} \left| (x-2) \frac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}} \right| = |x-2| \lim_{k \to \infty} \sqrt{\frac{k}{k+1}} $$
$$ L = |x-2| \cdot 1 = |x-2| $$
Để chuỗi hội tụ, ta cần $L < 1$, tức là $|x-2| < 1$. Điều này cho ta:
$$ -1 < x-2 < 1 \implies 1 < x < 3 $$
Bán kính hội tụ là $R = 1$. Khoảng hội tụ mở là $(1, 3)$.

2. Kiểm tra sự hội tụ tại các điểm mút:
* Tại $x=1$:
Thay $x=1$ vào chuỗi, ta được:
$$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(1-2)^k}{\sqrt{k}} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k}} $$
Đây là một chuỗi đan dấu. Ta kiểm tra bằng tiêu chuẩn Leibniz:
- Đặt $b_k = \frac{1}{\sqrt{k}}$. Ta thấy $b_k > 0$ với mọi $k \ge 1$.
- $b_k$ giảm dần vì $\sqrt{k}$ tăng dần khi $k$ tăng.
- $\lim_{k \to \infty} b_k = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{\sqrt{k}} = 0$.
Do đó, theo tiêu chuẩn Leibniz, chuỗi hội tụ tại $x=1$.

* Tại $x=3$:
Thay $x=3$ vào chuỗi, ta được:
$$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(3-2)^k}{\sqrt{k}} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1^k}{\sqrt{k}} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{1/2}} $$
Đây là một chuỗi p-hiển với $p = 1/2$. Vì $p \le 1$, chuỗi này phân kỳ.

3. Kết luận:
Chuỗi hội tụ khi $1 \le x < 3$. Vậy miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là khoảng $[1, 3)$.

Để phân tích sự tồn tại của quần thể côn trùng, chúng ta xem xét phương trình vi phân đã cho: P′(t) = rP + a - b. Trong đó, P(t) là số lượng côn trùng tại thời điểm t, r là tốc độ tăng trưởng tự nhiên, a là số lượng côn trùng gia nhập quần thể mỗi ngày, và b là số lượng côn trùng chết đi mỗi ngày.

Với các giá trị ban đầu: P(0) = 100 con, r = 0.07, a = 5, và b = 13.
Phương trình vi phân trở thành: P′(t) = 0.07P + 5 - 13 = 0.07P - 8.

Để xác định sự tồn tại của quần thể, chúng ta cần giải phương trình vi phân này.

1. Tìm điểm cân bằng: Đặt P′(t) = 0.
0.07P - 8 = 0
0.07P = 8
P = 8 / 0.07 ≈ 114.28.

Vì P(0) = 100 nhỏ hơn điểm cân bằng (114.28) và hệ số của P (0.07) dương, trong khi hằng số (-8) âm, điều này cho thấy quần thể sẽ giảm dần theo thời gian và cuối cùng sẽ tuyệt chủng.

2. Giải phương trình vi phân:
P′(t) = 0.07P - 8
Đây là một phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất. Chúng ta có thể tách biến hoặc sử dụng thừa số tích phân.

Tách biến:
dP / (0.07P - 8) = dt

Lấy tích phân hai vế:
∫ dP / (0.07P - 8) = ∫ dt
(1 / 0.07) * ln|0.07P - 8| = t + C1
ln|0.07P - 8| = 0.07t + 0.07C1
|0.07P - 8| = e^(0.07t + 0.07C1) = e^(0.07C1) * e^(0.07t)
0.07P - 8 = C * e^(0.07t), với C = ±e^(0.07C1)
P(t) = (8 + C * e^(0.07t)) / 0.07
P(t) = 8/0.07 + (C/0.07) * e^(0.07t)

Đặt C' = C/0.07, ta có nghiệm tổng quát:
P(t) = 8/0.07 + C' * e^(0.07t).

3. Áp dụng điều kiện ban đầu P(0) = 100:
100 = 8/0.07 + C' * e^(0.07*0)
100 = 8/0.07 + C'
C' = 100 - 8/0.07 = 100 - 800/7 = (700 - 800) / 7 = -100/7.

Vậy, nghiệm riêng của bài toán là:
P(t) = 8/0.07 - (100/7) * e^(0.07t)
P(t) = 800/7 - (100/7) * e^(0.07t).

4. Tìm thời điểm quần thể tuyệt chủng (P(t) = 0):
0 = 800/7 - (100/7) * e^(0.07t)
(100/7) * e^(0.07t) = 800/7
100 * e^(0.07t) = 800
e^(0.07t) = 8

Lấy logarit tự nhiên hai vế:
ln(e^(0.07t)) = ln(8)
0.07t = ln(8)
t = ln(8) / 0.07
t ≈ 2.07944 / 0.07
t ≈ 29.706 ngày.

Kết luận: Quần thể này sẽ không tồn tại mãi mãi. Chúng sẽ tuyệt chủng sau khoảng 29.7 ngày.

Để tính diện tích tam giác ABC trong không gian Oxyz khi biết tọa độ ba đỉnh A, B, C, ta có thể sử dụng công thức tính diện tích tam giác dựa trên tích có hướng của hai vectơ tạo thành hai cạnh của tam giác. Cụ thể, ta tìm hai vectơ bất kỳ xuất phát từ cùng một đỉnh, ví dụ vectơ $\vec{AB}$ và vectơ $\vec{AC}$.

Bước 1: Tìm tọa độ hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$.
$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (2 - (-1); 0 - 1; 1 - 2) = (3; -1; -1)$
$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) = (2 - (-1); -5 - 1; 3 - 2) = (3; -6; 1)$

Bước 2: Tính tích có hướng của hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$.
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -1 & -1 \\ 3 & -6 & 1 \end{array}\right|$
$= \vec{i}((-1)(1) - (-1)(-6)) - \vec{j}((3)(1) - (-1)(3)) + \vec{k}((3)(-6) - (-1)(3))$
$= \vec{i}(-1 - 6) - \vec{j}(3 + 3) + \vec{k}(-18 + 3)$
$= -7\vec{i} - 6\vec{j} - 15\vec{k}$
Tích có hướng là vectơ $(-7; -6; -15)$.

Bước 3: Tính độ dài của vectơ tích có hướng.
$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-7)^2 + (-6)^2 + (-15)^2}$
$= \sqrt{49 + 36 + 225}$
$= \sqrt{310}$

Bước 4: Tính diện tích tam giác ABC.
Diện tích tam giác ABC bằng một nửa độ dài của vectơ tích có hướng của hai cạnh tạo thành tam giác đó.
$S_{ABC} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} \sqrt{310}$.

Do đó, diện tích tam giác ABC là $\frac{\sqrt{310}}{2}$. Câu hỏi này yêu cầu tính diện tích tam giác khi biết tọa độ 3 đỉnh trong không gian Oxyz. Phương pháp giải là sử dụng tích có hướng của hai vectơ cạnh tam giác. Các bước tính toán đã được thực hiện chi tiết và dẫn đến kết quả là $\frac{\sqrt{310}}{2}$.

Để tính diện tích miền giới hạn bởi hai đường cong \(y - 4\sqrt{x} = 1\) và \((x - 1)^2 = y\), chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tìm giao điểm của hai đường cong:
Từ phương trình thứ nhất, ta có: \(y = 4\sqrt{x} + 1\).
Thay vào phương trình thứ hai:
\((x - 1)^2 = 4\sqrt{x} + 1\)
\(x^2 - 2x + 1 = 4\sqrt{x} + 1\)
\(x^2 - 2x = 4\sqrt{x}\)
Để giải phương trình này, ta nhận thấy \(x = 0\) là một nghiệm (vì \(0^2 - 2(0) = 0\) và \(4\sqrt{0} = 0\)).
Với \(x > 0\), ta có thể chia cả hai vế cho \(\sqrt{x}\):
\(x^{3/2} - 2x^{1/2} = 4\)
Đặt \(t = \sqrt{x}\), với \(t > 0\). Khi đó \(x = t^2\) và \(x^{3/2} = t^3\).
Phương trình trở thành:
\(t^3 - 2t = 4\)
\(t^3 - 2t - 4 = 0\)
Ta thử tìm nghiệm nguyên bằng cách xét các ước của 4: \(\pm 1, \pm 2, \pm 4\).
Với \(t=2\), ta có \(2^3 - 2(2) - 4 = 8 - 4 - 4 = 0\). Vậy \(t=2\) là một nghiệm.
Khi \(t=2\), \(\sqrt{x} = 2\) \(\implies x = 4\).
Để kiểm tra xem còn nghiệm nào khác, ta chia đa thức \(t^3 - 2t - 4\) cho \((t-2)\) bằng phép chia Horner hoặc phép chia đa thức thông thường, ta được \(t^2 + 2t + 2\).
Phương trình \(t^2 + 2t + 2 = 0\) có biệt thức \(\Delta = 2^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 < 0\), nên không có nghiệm thực.
Vậy, các giao điểm có hoành độ là \(x=0\) và \(x=4\).
Tìm tung độ tương ứng:
Khi \(x=0\), \(y = 4\sqrt{0} + 1 = 1\). Giao điểm là \((0, 1)\).
Khi \(x=4\), \(y = 4\sqrt{4} + 1 = 4(2) + 1 = 9\). Giao điểm là \((4, 9)\).

2. Xác định đường nào nằm trên đường nào trong khoảng giữa các giao điểm:
Ta xét khoảng \([0, 4]\). Chọn một điểm thử, ví dụ \(x=1\).
Đường thứ nhất: \(y_1 = 4\sqrt{1} + 1 = 5\).
Đường thứ hai: \(y_2 = (1 - 1)^2 = 0\).
Vì \(y_1 > y_2\) tại \(x=1\), nên đường \(y = 4\sqrt{x} + 1\) nằm phía trên đường \(y = (x - 1)^2\) trên khoảng \([0, 4]\).

3. Thiết lập tích phân để tính diện tích:
Diện tích \(A\) được tính bằng tích phân của hiệu hai hàm số từ \(x=0\) đến \(x=4\):
\(A = \int_{0}^{4} [(4\sqrt{x} + 1) - (x - 1)^2] dx\)

4. Tính tích phân:
\(A = \int_{0}^{4} [4x^{1/2} + 1 - (x^2 - 2x + 1)] dx\)
\(A = \int_{0}^{4} [4x^{1/2} + 1 - x^2 + 2x - 1] dx\)
\(A = \int_{0}^{4} [4x^{1/2} + 2x - x^2] dx\)
Tính nguyên hàm:
\(\int 4x^{1/2} dx = 4 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{8}{3}x^{3/2}\)
\(\int 2x dx = x^2\)
\(\int -x^2 dx = -\frac{x^3}{3}\)
Vậy, nguyên hàm là \(\frac{8}{3}x^{3/2} + x^2 - \frac{x^3}{3}\).
Tính tích phân xác định:
\(A = \left[ \frac{8}{3}x^{3/2} + x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4}\)
\(A = \left( \frac{8}{3}(4)^{3/2} + (4)^2 - \frac{(4)^3}{3} \right) - \left( \frac{8}{3}(0)^{3/2} + (0)^2 - \frac{(0)^3}{3} \right)\)
\(A = \left( \frac{8}{3}(8) + 16 - \frac{64}{3} \right) - (0)\)
\(A = \frac{64}{3} + 16 - \frac{64}{3}\)
\(A = 16\)

Vậy diện tích miền giới hạn bởi hai đường cong là 16.

Câu hỏi này yêu cầu tìm giao điểm và tính diện tích của hai đường cong trong hệ tọa độ cực. Phần a yêu cầu tìm giao điểm bằng cách giải hệ phương trình đặc trưng cho hai đường cong. Phần b yêu cầu tính diện tích của một miền được tô nền xám, được xác định bởi hai đường cong này. Để tính diện tích, ta cần xác định các giới hạn tích phân dựa trên các góc $\theta$ mà hai đường cong cắt nhau hoặc tạo thành miền cần tính diện tích. Công thức tính diện tích trong hệ tọa độ cực là $A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 d\theta$. Việc xác định đúng miền cần tính diện tích dựa trên hình vẽ minh họa là rất quan trọng.