Trong không gian Oxyz, tính diện tích tam giác ABC trong đó A(-1; 1; 2), B(2; 0; 1) và C(2; -5; 3).

Để tính diện tích miền giới hạn bởi hai đường cong \(y - 4\sqrt{x} = 1\) và \((x - 1)^2 = y\), chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tìm giao điểm của hai đường cong:
Từ phương trình thứ nhất, ta có: \(y = 4\sqrt{x} + 1\).
Thay vào phương trình thứ hai:
\((x - 1)^2 = 4\sqrt{x} + 1\)
\(x^2 - 2x + 1 = 4\sqrt{x} + 1\)
\(x^2 - 2x = 4\sqrt{x}\)
Để giải phương trình này, ta nhận thấy \(x = 0\) là một nghiệm (vì \(0^2 - 2(0) = 0\) và \(4\sqrt{0} = 0\)).
Với \(x > 0\), ta có thể chia cả hai vế cho \(\sqrt{x}\):
\(x^{3/2} - 2x^{1/2} = 4\)
Đặt \(t = \sqrt{x}\), với \(t > 0\). Khi đó \(x = t^2\) và \(x^{3/2} = t^3\).
Phương trình trở thành:
\(t^3 - 2t = 4\)
\(t^3 - 2t - 4 = 0\)
Ta thử tìm nghiệm nguyên bằng cách xét các ước của 4: \(\pm 1, \pm 2, \pm 4\).
Với \(t=2\), ta có \(2^3 - 2(2) - 4 = 8 - 4 - 4 = 0\). Vậy \(t=2\) là một nghiệm.
Khi \(t=2\), \(\sqrt{x} = 2\) \(\implies x = 4\).
Để kiểm tra xem còn nghiệm nào khác, ta chia đa thức \(t^3 - 2t - 4\) cho \((t-2)\) bằng phép chia Horner hoặc phép chia đa thức thông thường, ta được \(t^2 + 2t + 2\).
Phương trình \(t^2 + 2t + 2 = 0\) có biệt thức \(\Delta = 2^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 < 0\), nên không có nghiệm thực.
Vậy, các giao điểm có hoành độ là \(x=0\) và \(x=4\).
Tìm tung độ tương ứng:
Khi \(x=0\), \(y = 4\sqrt{0} + 1 = 1\). Giao điểm là \((0, 1)\).
Khi \(x=4\), \(y = 4\sqrt{4} + 1 = 4(2) + 1 = 9\). Giao điểm là \((4, 9)\).

2. Xác định đường nào nằm trên đường nào trong khoảng giữa các giao điểm:
Ta xét khoảng \([0, 4]\). Chọn một điểm thử, ví dụ \(x=1\).
Đường thứ nhất: \(y_1 = 4\sqrt{1} + 1 = 5\).
Đường thứ hai: \(y_2 = (1 - 1)^2 = 0\).
Vì \(y_1 > y_2\) tại \(x=1\), nên đường \(y = 4\sqrt{x} + 1\) nằm phía trên đường \(y = (x - 1)^2\) trên khoảng \([0, 4]\).

3. Thiết lập tích phân để tính diện tích:
Diện tích \(A\) được tính bằng tích phân của hiệu hai hàm số từ \(x=0\) đến \(x=4\):
\(A = \int_{0}^{4} [(4\sqrt{x} + 1) - (x - 1)^2] dx\)

4. Tính tích phân:
\(A = \int_{0}^{4} [4x^{1/2} + 1 - (x^2 - 2x + 1)] dx\)
\(A = \int_{0}^{4} [4x^{1/2} + 1 - x^2 + 2x - 1] dx\)
\(A = \int_{0}^{4} [4x^{1/2} + 2x - x^2] dx\)
Tính nguyên hàm:
\(\int 4x^{1/2} dx = 4 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{8}{3}x^{3/2}\)
\(\int 2x dx = x^2\)
\(\int -x^2 dx = -\frac{x^3}{3}\)
Vậy, nguyên hàm là \(\frac{8}{3}x^{3/2} + x^2 - \frac{x^3}{3}\).
Tính tích phân xác định:
\(A = \left[ \frac{8}{3}x^{3/2} + x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4}\)
\(A = \left( \frac{8}{3}(4)^{3/2} + (4)^2 - \frac{(4)^3}{3} \right) - \left( \frac{8}{3}(0)^{3/2} + (0)^2 - \frac{(0)^3}{3} \right)\)
\(A = \left( \frac{8}{3}(8) + 16 - \frac{64}{3} \right) - (0)\)
\(A = \frac{64}{3} + 16 - \frac{64}{3}\)
\(A = 16\)

Vậy diện tích miền giới hạn bởi hai đường cong là 16.

Câu hỏi này yêu cầu tìm giao điểm và tính diện tích của hai đường cong trong hệ tọa độ cực. Phần a yêu cầu tìm giao điểm bằng cách giải hệ phương trình đặc trưng cho hai đường cong. Phần b yêu cầu tính diện tích của một miền được tô nền xám, được xác định bởi hai đường cong này. Để tính diện tích, ta cần xác định các giới hạn tích phân dựa trên các góc $\theta$ mà hai đường cong cắt nhau hoặc tạo thành miền cần tính diện tích. Công thức tính diện tích trong hệ tọa độ cực là $A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 d\theta$. Việc xác định đúng miền cần tính diện tích dựa trên hình vẽ minh họa là rất quan trọng.

Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện hai bước chính: tìm các hằng số $a$ và $b$ từ đẳng thức phân thức cho trước, sau đó tính giá trị của tích phân xác định sử dụng các hằng số này. Đầu tiên, chúng ta phân tích đẳng thức phân thức: $\frac{x}{x^2 - 5x + 6} = \frac{a}{x-2} + \frac{b}{x-3}$. Để tìm $a$ và $b$, ta quy đồng mẫu số ở vế phải: $\frac{a(x-3) + b(x-2)}{(x-2)(x-3)} = \frac{(a+b)x - 3a - 2b}{x^2 - 5x + 6}$. Đồng nhất tử số của hai vế, ta có: $x = (a+b)x + (-3a - 2b)$. So sánh hệ số của $x$ và hệ số tự do ở hai vế, ta thu được hệ phương trình tuyến tính: \begin{cases} a+b = 1 \\ -3a - 2b = 0 \end{cases}. Từ phương trình thứ nhất, ta có $b = 1 - a$. Thay vào phương trình thứ hai: $-3a - 2(1-a) = 0 \Rightarrow -3a - 2 + 2a = 0 \Rightarrow -a - 2 = 0 \Rightarrow a = -2$. Khi đó, $b = 1 - (-2) = 3$. Vậy, ta có $\frac{x}{x^2 - 5x + 6} = \frac{-2}{x-2} + \frac{3}{x-3}$. Tiếp theo, chúng ta tính tích phân xác định: $I = \int_{0}^{2} \frac{x \, dx}{x^2 - 5x + 6}$. Thay biểu thức phân thức đã phân tích vào tích phân: $I = \int_{0}^{2} \left( \frac{-2}{x-2} + \frac{3}{x-3} \right) dx$. Tích phân này có thể được tách thành hai tích phân: $I = \int_{0}^{2} \frac{-2}{x-2} dx + \int_{0}^{2} \frac{3}{x-3} dx$. Xét tích phân thứ nhất: $\int_{0}^{2} \frac{-2}{x-2} dx$. Hàm số $\frac{-2}{x-2}$ có một tiệm cận đứng tại $x=2$, là cận trên của tích phân. Vì vậy, đây là một tích phân suy rộng loại 2. Chúng ta cần kiểm tra sự hội tụ của nó: $\lim_{t \to 2^{-}} \int_{0}^{t} \frac{-2}{x-2} dx = \lim_{t \to 2^{-}} [-2 \ln|x-2|]_{0}^{t} = \lim_{t \to 2^{-}} (-2 \ln|t-2| - (-2 \ln|-2|)) = \lim_{t \to 2^{-}} (-2 \ln(2-t) + 2 \ln 2)$. Khi $t \to 2^{-}$, thì $2-t \to 0^{+}$. Ta biết rằng $\lim_{u \to 0^{+}} \ln u = -\infty$. Do đó, $\lim_{t \to 2^{-}} (-2 \ln(2-t)) = -2 \cdot (-\infty) = +\infty$. Vì tích phân thứ nhất phân kỳ (hội tụ đến vô cùng), nên toàn bộ tích phân $I$ cũng phân kỳ. Do đó, không có một giá trị số hữu hạn cho tích phân này trong khoảng đã cho.

Để tính giá trị của chuỗi số $S$, ta sẽ sử dụng tính chất tuyến tính của chuỗi số và công thức tính tổng chuỗi hình học.

Đề bài cho chuỗi:
$S = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{a_k + 2^{k}}{3^{k}}$

Và biết rằng:
$\\sum_{k=2}^{\infty} a_k = 9$

Ta có thể tách chuỗi S thành hai chuỗi con sử dụng tính chất tuyến tính của tổng chuỗi:
$S = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{a_k}{3^{k}} + \sum_{k=2}^{\infty} \frac{2^{k}}{3^{k}}$

Đặt $S_1 = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{a_k}{3^{k}}$ và $S_2 = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{2^{k}}{3^{k}}$. Khi đó $S = S_1 + S_2$.

Tính $S_2$:
$S_2 = \sum_{k=2}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^{k}$. Đây là một chuỗi hình học với số hạng đầu $a = (2/3)^2 = 4/9$ và công bội $r = 2/3$. Vì $|r| < 1$, chuỗi này hội tụ.
Tổng của chuỗi hình học vô hạn là $\\frac{a}{1-r}$.
Do đó, $S_2 = \frac{4/9}{1 - 2/3} = \frac{4/9}{1/3} = \frac{4}{9} \times 3 = \frac{4}{3}$.

Phân tích $S_1$:
Ta cần tính $S_1 = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{a_k}{3^{k}}$. Đề bài cho $\\sum_{k=2}^{\infty} a_k = 9$. Thông thường, nếu đề bài cho $\\sum_{k=2}^{\infty} a_k$ và yêu cầu tính $\\sum_{k=2}^{\infty} \frac{a_k}{3^{k}}$, thì sẽ có một mối liên hệ trực tiếp hoặc $a_k$ có dạng đặc biệt. Nếu không có thêm thông tin về $a_k$, ta không thể tính chính xác $S_1$.

Tuy nhiên, trong các bài toán dạng này, nếu không cho thêm thông tin, có thể đề bài ngầm hiểu rằng giá trị của $\\sum_{k=2}^{\infty} \frac{a_k}{3^{k}}$ tương ứng với giá trị đã cho. Đây là một cách diễn giải phổ biến trong các bài kiểm tra khi thiếu thông tin rõ ràng.

Do đó, ta giả định rằng $\\sum_{k=2}^{\infty} \frac{a_k}{3^{k}} = 9$.

Tính S:
Với giả định trên, ta có $S_1 = 9$.
$S = S_1 + S_2 = 9 + \frac{4}{3}$.
$S = \frac{27}{3} + \frac{4}{3} = \frac{31}{3}$.

Lưu ý quan trọng: Việc giải bài toán này dựa trên giả định rằng $\\sum_{k=2}^{\infty} \frac{a_k}{3^{k}} = 9$ vì đề bài không cung cấp đủ thông tin để suy ra mối quan hệ này một cách chặt chẽ từ $\\sum_{k=2}^{\infty} a_k = 9$. Nếu đây là một bài toán học thuật yêu cầu chứng minh chặt chẽ, thì bài toán này không đủ dữ kiện.

Câu hỏi yêu cầu xét sự hội tụ của chuỗi số đan dấu Q = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \left(\frac{k+2025}{3k-2020}\right)^k.
Để xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu dạng \sum (-1)^k a_k, ta thường sử dụng Tiêu chuẩn Leibniz nếu dãy |a_k| đơn điệu giảm và dần về 0. Tuy nhiên, trong trường hợp này, số hạng tổng quát có dạng \left(\frac{k+2025}{3k-2020}\right)^k, gợi ý sử dụng Tiêu chuẩn D'Alembert hoặc Cauchy cho chuỗi số dương. Ta sẽ xét chuỗi giá trị tuyệt đối của Q, ký hiệu là \sum_{k=0}^{\infty} \left|(-1)^k \left(\frac{k+2025}{3k-2020}\right)^k\right| = \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{k+2025}{3k-2020}\right)^k.
Đặt b_k = \left(\frac{k+2025}{3k-2020}\right)^k. Ta sẽ dùng Tiêu chuẩn Cauchy cho chuỗi số dương \sum b_k.
Ta xét giới hạn của căn bậc k của số hạng tổng quát:
L = \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{b_k} = \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{\left(\frac{k+2025}{3k-2020}\right)^k} = \lim_{k \to \infty} \frac{k+2025}{3k-2020}.
Để tính giới hạn này, ta chia cả tử và mẫu cho k:
L = \lim_{k \to \infty} \frac{1 + \frac{2025}{k}}{3 - \frac{2020}{k}} = \frac{1+0}{3-0} = \frac{1}{3}.
Vì L = \frac{1}{3} < 1, theo Tiêu chuẩn Cauchy, chuỗi số dương \sum b_k hội tụ.
Vì chuỗi giá trị tuyệt đối của chuỗi Q hội tụ, nên chuỗi Q hội tụ tuyệt đối. Chuỗi hội tụ tuyệt đối thì hội tụ.