Số các các hoán vị của tập n phần tử là:

Đây là một bài toán ứng dụng nguyên lý Dirichlet (hay còn gọi là nguyên lý chuồng bồ câu). Nguyên lý Dirichlet phát biểu rằng nếu có n chuồng và nhiều hơn n vật được nhốt vào các chuồng này, thì phải có ít nhất một chuồng chứa nhiều hơn một vật. Tổng quát hơn, nếu có n chuồng và k*n + 1 vật được nhốt vào các chuồng, thì phải có ít nhất một chuồng chứa ít nhất k+1 vật.

Trong bài toán này, ta có 5 loại học bổng (tương ứng với 5 'chuồng'). Ta muốn tìm số lượng sinh viên tối thiểu (số lượng 'vật') sao cho có ít nhất 5 sinh viên nhận được cùng một loại học bổng.

Để đảm bảo chắc chắn có 5 sinh viên nhận cùng một loại học bổng, ta cần xét trường hợp xấu nhất, tức là số lượng sinh viên được chia đều cho các loại học bổng nhiều nhất có thể mà vẫn chưa đạt được 5 sinh viên cùng loại. Trường hợp này xảy ra khi mỗi loại học bổng có 4 sinh viên nhận được. Khi đó, tổng số sinh viên là 4 * 5 = 20.

Nếu ta thêm một sinh viên nữa (tức là có tổng cộng 20 + 1 = 21 sinh viên), sinh viên này chắc chắn phải nhận một trong 5 loại học bổng. Do đó, sẽ có ít nhất một loại học bổng có 5 sinh viên nhận được.

Vậy số sinh viên tối thiểu là 4*5+1 = 21. Tuy nhiên, không có đáp án nào là 21. Ta cần xem xét lại câu hỏi một cách cẩn thận. Câu hỏi yêu cầu 'ít nhất bao nhiêu sinh viên để chắc chắn có 5 người được nhận học bổng như nhau'. Điều này có nghĩa là phải có ít nhất 5 người cùng nhận một loại học bổng.

Vậy nếu ta có 4 sinh viên nhận loại học bổng thứ nhất, 4 sinh viên nhận loại học bổng thứ hai, 4 sinh viên nhận loại học bổng thứ ba, 4 sinh viên nhận loại học bổng thứ tư và 4 sinh viên nhận loại học bổng thứ năm. Lúc này, ta có 4 * 5 = 20 sinh viên. Khi ta thêm một sinh viên nữa, chắc chắn sinh viên này phải nhận một trong 5 loại học bổng trên. Lúc này, sẽ có một loại học bổng có ít nhất 5 người nhận. Vậy cần ít nhất 21 sinh viên.

Tuy nhiên, các đáp án đưa ra không có đáp án nào là 21. Xem xét kỹ các đáp án:

• Đáp án 1: 52 sinh viên -> Chắc chắn đúng, nhưng có thể không phải là số sinh viên ít nhất.
• Đáp án 2: 5 sinh viên -> Sai, vì có thể mỗi sinh viên nhận một loại học bổng khác nhau.
• Đáp án 3: 26 sinh viên -> Chắc chắn đúng, nhưng có thể không phải là số sinh viên ít nhất.
• Đáp án 4: 50 sinh viên -> Chắc chắn đúng, nhưng có thể không phải là số sinh viên ít nhất.

Trong các đáp án đã cho, đáp án gần đúng nhất phải là 26, vì 5 * 5 = 25, cộng thêm 1 sinh viên là 26. Với 26 sinh viên, ta có thể chia thành 5 nhóm, mỗi nhóm 5 sinh viên và còn dư 1 sinh viên. Tuy nhiên, đáp án chính xác nhất theo nguyên lý Dirichlet phải là 21. Do các đáp án không có 21, có lẽ có một sự nhầm lẫn nào đó trong các đáp án. Dù vậy, trong những đáp án đã cho, đáp án gần đúng nhất là 26.

Ta có thể khái quát công thức như sau: Gọi n là số loại học bổng, k là số người tối thiểu nhận cùng loại học bổng. Vậy số sinh viên tối thiểu cần là (k-1)*n + 1. Trong bài toán này n = 5, k = 5, vậy số sinh viên tối thiểu cần là (5-1)*5 + 1 = 21.

Trong các đáp án đã cho, không có đáp án nào đúng hoàn toàn. Tuy nhiên, nếu phải chọn một đáp án gần đúng nhất, ta chọn đáp án 3.

Đề bài yêu cầu đếm số xâu nhị phân có độ dài nhỏ hơn hoặc bằng 6 và kết thúc bằng bít 0.

Xét các trường hợp:

• Độ dài 1: xâu "0" (1 xâu)
• Độ dài 2: xâu có dạng "x0", x có thể là 0 hoặc 1 (2¹ xâu)
• Độ dài 3: xâu có dạng "xx0", mỗi x có thể là 0 hoặc 1 (2² xâu)
• Độ dài 4: xâu có dạng "xxx0" (2³ xâu)
• Độ dài 5: xâu có dạng "xxxx0" (2⁴ xâu)
• Độ dài 6: xâu có dạng "xxxxx0" (2⁵ xâu)

Vậy tổng số xâu là: 1 + 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵