Xác định giá trị của k sau khi đoạn chương trình sau được thưc hiện xong:

k := 1;

For i₁ :=1 to n₁ do

k:= k+1;

For i₂ :=1 to n₂ do

k:= k+1; 

…

For im :=1 to nm do

k:= k+1 

Thuật toán đệ quy `dequy(a, n)` tính giá trị của aⁿ.

- `dequy(2, 5)` sẽ tính 2⁵ = 32, do đó phương án 1 và 2 sai.
- `dequy(5, 2)` sẽ tính 5² = 25, do đó phương án 3 đúng, phương án 4 sai.

Đây là một bài toán về nguyên lý Dirichlet (hay còn gọi là nguyên lý chuồng bồ câu). Nguyên lý này nói rằng nếu có n chuồng và nhiều hơn n con bồ câu, thì ít nhất một chuồng phải có nhiều hơn một con bồ câu. Trong bài toán này, "chuồng" là loại học bổng (có 5 loại) và "bồ câu" là sinh viên. Để chắc chắn có 5 sinh viên nhận cùng một loại học bổng, ta cần tính số lượng sinh viên tối thiểu sao cho trường hợp xấu nhất (mỗi loại học bổng có số sinh viên nhận ít hơn 5) vẫn không xảy ra.

Giả sử có x sinh viên. Theo nguyên lý Dirichlet mở rộng, nếu x > k*n thì ít nhất một "chuồng" chứa nhiều hơn k "bồ câu". Ở đây, ta muốn ít nhất một loại học bổng có ít nhất 5 sinh viên (k=4), và có 5 loại học bổng (n=5). Vậy, ta có x > 4*5, tức là x > 20. Để chắc chắn có ít nhất 5 sinh viên nhận cùng một loại học bổng, ta cần thêm 5 sinh viên vào con số này.

Tuy nhiên, cách tiếp cận chính xác hơn là: Giả sử trường hợp xấu nhất xảy ra, mỗi loại học bổng có 4 sinh viên nhận. Vậy tổng cộng có 4 * 5 = 20 sinh viên. Để đảm bảo có ít nhất 5 sinh viên nhận cùng một loại học bổng, ta cần thêm 1 sinh viên nữa. Vậy tổng số sinh viên cần là 20 + 1 = 21 sinh viên. Vì vậy, số sinh viên tối thiểu cần phải có là 4*5 + 1 = 21.

Nhưng đáp án này không xuất hiện trong các lựa chọn, vậy nên ta phải xem xét lại yêu cầu của bài toán. Đề bài yêu cầu "chắc chắn có 5 người được nhận học bổng NHƯ NHAU", điều này có nghĩa là phải có 5 người nhận CÙNG MỘT loại học bổng. Ta sẽ tiếp tục sử dụng nguyên lý Dirichlet.

Trường hợp xấu nhất: Mỗi loại học bổng có 4 người nhận. Vậy tổng cộng là 4 * 5 = 20 người. Để chắc chắn có 5 người nhận cùng một loại học bổng, ta cần thêm 1 người nữa, vậy tổng cộng là 21 người. Tuy nhiên, vẫn không có đáp án đúng.

Nếu mỗi loại có x người, thì tổng số người là 5x.
Nếu 5 người nhận học bổng như nhau, vậy đáp án phải lớn hơn hoặc bằng 5. Nếu 5 người nhận 1 loại, 5 người nhận loại 2... thì phải có ít nhất 5*5 + 1 = 26 người để có 5 người nhận 1 loại.

Vậy nếu có 5 người nhận loại 1, 5 người nhận loại 2, 5 người nhận loại 3, 5 người nhận loại 4, và 5 người nhận loại 5, thì ta có 25 người. Người thứ 26 chắc chắn sẽ làm cho 1 loại có ít nhất 6 người. Tuy nhiên, ta chỉ cần 5 người.

Số sinh viên tối thiểu cần có là: 4 (sinh viên/loại) * 5 (loại) + 1 = 21. Vì không có đáp án 21, ta chọn đáp án gần nhất lớn hơn 21, đó là 26, để chắc chắn có ít nhất 5 người nhận học bổng như nhau.

Vì người thương nhân có thể bắt đầu ở bất kỳ thành phố nào trong n thành phố, và sau đó phải đi qua n-1 thành phố còn lại theo bất kỳ thứ tự nào, đây là một bài toán về hoán vị. Khi đã chọn thành phố bắt đầu, ta có (n-1) lựa chọn cho thành phố thứ hai, (n-2) lựa chọn cho thành phố thứ ba, và cứ tiếp tục như vậy cho đến thành phố cuối cùng. Do đó, số lượng lộ trình khác nhau là (n-1)!.

Học viên phải trả lời 8 câu hỏi, trong đó 3 câu hỏi đầu tiên là bắt buộc. Vậy học viên cần chọn thêm 5 câu hỏi từ 7 câu hỏi còn lại (10 - 3 = 7). Số cách chọn 5 câu hỏi từ 7 câu hỏi là tổ hợp chập 5 của 7, ký hiệu là C(7,5) hay 7C5. Ta có công thức tính tổ hợp: C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!). Trong trường hợp này, C(7,5) = 7! / (5! * 2!) = (7 * 6) / (2 * 1) = 21.