Quá trình đa biến, khi số mũ đa biến n = ± º thì nó trở thành:

Để tính công thay đổi thể tích trong quá trình đoạn nhiệt (quá trình biến đổi không trao đổi nhiệt với môi trường) cho một khí lý tưởng, chúng ta xuất phát từ công thức tổng quát của công thay đổi thể tích (specific work, công trên một đơn vị khối lượng):

\(l = \int_{{v_1}}^{{v_2}} p dv\)

Đối với quá trình đoạn nhiệt thuận nghịch của khí lý tưởng, phương trình trạng thái có dạng: \(pv^k = \text{const}\, \text{hay}\, p_1v_1^k = p_2v_2^k\), trong đó \(k\) là chỉ số đoạn nhiệt.

Từ đó, ta có thể biểu diễn \(p\) theo \(v\) là: \(p = p_1v_1^k v^{-k}\).

Thay vào công thức tính công:
\(l = \int_{{v_1}}^{{v_2}} p_1v_1^k v^{-k} dv = p_1v_1^k \left[ \frac{v^{-k+1}}{{-k+1}} \right]_{{v_1}}^{{v_2}}\)
\(l = \frac{p_1v_1^k}{{1-k}} (v_2^{1-k} - v_1^{1-k}) = \frac{1}{{1-k}} (p_1v_1^k v_2^{1-k} - p_1v_1^k v_1^{1-k})\)

Vì \(p_1v_1^k = p_2v_2^k\), ta có thể thay thế \(p_1v_1^k v_2^{1-k}\) bằng \(p_2v_2^k v_2^{1-k} = p_2v_2\).
Còn \(p_1v_1^k v_1^{1-k} = p_1v_1\).

Vậy công thức công thay đổi thể tích trong quá trình đoạn nhiệt là:
\(l = \frac{{p_2v_2 - p_1v_1}}{{1-k}}\)

Sử dụng phương trình trạng thái khí lý tưởng \(pv = RT\), ta có \(p_1v_1 = RT_1\) và \(p_2v_2 = RT_2\).
Thay vào công thức công:
\(l = \frac{{RT_2 - RT_1}}{{1-k}} = \frac{{R(T_2 - T_1)}}{{1-k}}\)

Bây giờ, ta xét các phương án:

* Phương án 1: \({l_{kt}} = \frac{k}{{1 - k}}{p_1}{v_1}\left[ {\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} - 1} ight]\). Nếu biến đổi, ta được \(\frac{k}{{1 - k}}RT_1\left[ {\frac{{{T_2} - {T_1}}}{{{T_1}}}} \right] = \frac{kR(T_2 - T_1)}{1-k}\). Công thức này sai vì có thêm hệ số \(k\) so với công thức chuẩn.

* Phương án 2: \({l_{kt}} = \frac{k}{{1 - k}}({p_2}{v_2} - {p_1}{v_1})\). Biến đổi thành \(\frac{k}{{1 - k}}R(T_2 - T_1)\). Công thức này sai vì có thêm hệ số \(k\) so với công thức chuẩn.

* Phương án 3: \({l_{kt}} = \frac{1}{{1 - k}}R{T_1}\left[ {{{\left( {\frac{{{p_2}}}{{{p_1}}}} \right)}^{\frac{{k - 1}}{k}}} - 1} ight]\).
Đối với quá trình đoạn nhiệt, mối quan hệ giữa nhiệt độ và áp suất là: \(\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{k-1}{k}}\).
Thay mối quan hệ này vào biểu thức của phương án 3:
\({l_{kt}} = \frac{1}{{1 - k}}R{T_1}\left[ {\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} - 1} \right] = \frac{1}{{1 - k}}R{T_1}\left[ {\frac{{{T_2} - {T_1}}}{{{T_1}}}} \right] = \frac{R(T_2 - T_1)}{1-k}\).
Công thức này hoàn toàn khớp với công thức đã được chứng minh. Vì vậy, đây là đáp án đúng.

* Phương án 4: \({l_{kt}} = \frac{1}{{1 - k}}k{p_1}{v_1}\left[ {{{\left( {\frac{{{p_2}}}{{{p_1}}}} \right)}^{\frac{{k - 1}}{k}}} - 1} \right]\). Biến đổi tương tự phương án 3, ta được \(\frac{kR(T_2 - T_1)}{1-k}\). Công thức này sai vì có thêm hệ số \(k\) so với công thức chuẩn.

Như vậy, phương án 3 là công thức đúng để tính công thay đổi thể tích trong quá trình đoạn nhiệt.

Để xác định biểu thức tính nhiệt lượng, chúng ta cần nhớ mối quan hệ cơ bản giữa nhiệt lượng, nhiệt độ và entropy trong quá trình thuận nghịch. Biểu thức vi phân cho nhiệt lượng vô cùng nhỏ (dq) trong một quá trình thuận nghịch là:

dq = Tds

Trong đó:
* `dq` là nhiệt lượng vô cùng nhỏ được truyền đi.
* `T` là nhiệt độ tuyệt đối (theo thang Kelvin).
* `ds` là biến thiên entropy vô cùng nhỏ.

Để tính tổng nhiệt lượng `q` được truyền trong một quá trình hữu hạn từ trạng thái có entropy `s1` đến `s2`, chúng ta cần tích phân biểu thức này:

q = ∫dq = ∫Tds

Nếu quá trình là đẳng nhiệt (nhiệt độ `T` không đổi), chúng ta có thể đưa `T` ra ngoài dấu tích phân:

q = T∫ds

Khi tích phân `ds` từ `s1` đến `s2`, chúng ta được:

q = T(s2 - s1)

Bây giờ chúng ta xem xét các phương án:

* Phương án 1: `q = T.ds`
Biểu thức này không chính xác. `T.ds` chính là `dq` (nhiệt lượng vô cùng nhỏ), không phải tổng nhiệt lượng `q`. `q` là một đại lượng hữu hạn, không thể bằng một đại lượng vi phân.

* Phương án 2: `dq = T∫s1s2ds`
Biểu thức này sai về mặt ký hiệu và ý nghĩa. Vế trái là một đại lượng vô cùng nhỏ (`dq`), trong khi vế phải là một đại lượng hữu hạn (`T` nhân với độ biến thiên entropy hữu hạn `s2 - s1`). Hai vế không nhất quán về đơn vị và bản chất.

* Phương án 3: `q = T∫s1s2ds`
Đây là biểu thức chính xác cho việc tính nhiệt lượng `q` trong một quá trình đẳng nhiệt thuận nghịch. Biểu thức này thể hiện tích phân của `Tds` từ trạng thái entropy `s1` đến `s2`, trong đó `T` được xem là hằng số và được đưa ra ngoài dấu tích phân. Kết quả của tích phân này chính là `T(s2 - s1)`, phù hợp với lý thuyết.

* Phương án 4: `Δq = T(s2 - s1)`
Về mặt giá trị, `T(s2 - s1)` là công thức đúng để tính nhiệt lượng trong một quá trình đẳng nhiệt thuận nghịch. Tuy nhiên, ký hiệu `Δq` cho tổng nhiệt lượng truyền qua là ít thông dụng hơn so với `q`. Hơn nữa, câu hỏi yêu cầu biểu thức tính toán, và phương án 3 trình bày dưới dạng tích phân (`∫s1s2ds`), thể hiện rõ hơn nguồn gốc và cách tính từ nguyên lý `dq = Tds` trong trường hợp `T` không đổi. Phương án này là kết quả sau khi đã tính tích phân, không phải là biểu thức ban đầu dạng tích phân.

Vì vậy, phương án 3 là biểu thức chính xác và đầy đủ nhất để tính nhiệt lượng theo yêu cầu của câu hỏi.

Đáp án đúng là C.

Đáp án đúng: C. Phát biểu A và B đều đúng.

Giải thích: Nhiệt độ là một thông số trạng thái của hệ và nó quyết định hướng truyền nhiệt: nhiệt luôn truyền từ nơi có nhiệt độ cao sang nơi có nhiệt độ thấp.

Đáp án đúng: B. Thể tích riêng.

Giải thích: Thể tích riêng là thông số trạng thái vì nó đặc trưng cho trạng thái của chất môi giới. Thể tích toàn phần còn phụ thuộc vào lượng chất môi giới.