Công thức tính công thay đổi thể tích trong quá trình đoạn nhiệt là:

Để tính công thay đổi thể tích trong quá trình đoạn nhiệt (quá trình biến đổi không trao đổi nhiệt với môi trường) cho một khí lý tưởng, chúng ta xuất phát từ công thức tổng quát của công thay đổi thể tích (specific work, công trên một đơn vị khối lượng): \(l = \int_{{v_1}}^{{v_2}} p dv\) Đối với quá trình đoạn nhiệt thuận nghịch của khí lý tưởng, phương trình trạng thái có dạng: \(pv^k = \text{const}\, \text{hay}\, p_1v_1^k = p_2v_2^k\), trong đó \(k\) là chỉ số đoạn nhiệt. Từ đó, ta có thể biểu diễn \(p\) theo \(v\) là: \(p = p_1v_1^k v^{-k}\). Thay vào công thức tính công: \(l = \int_{{v_1}}^{{v_2}} p_1v_1^k v^{-k} dv = p_1v_1^k \left[ \frac{v^{-k+1}}{{-k+1}} \right]_{{v_1}}^{{v_2}}\) \(l = \frac{p_1v_1^k}{{1-k}} (v_2^{1-k} - v_1^{1-k}) = \frac{1}{{1-k}} (p_1v_1^k v_2^{1-k} - p_1v_1^k v_1^{1-k})\) Vì \(p_1v_1^k = p_2v_2^k\), ta có thể thay thế \(p_1v_1^k v_2^{1-k}\) bằng \(p_2v_2^k v_2^{1-k} = p_2v_2\). Còn \(p_1v_1^k v_1^{1-k} = p_1v_1\). Vậy công thức công thay đổi thể tích trong quá trình đoạn nhiệt là: \(l = \frac{{p_2v_2 - p_1v_1}}{{1-k}}\) Sử dụng phương trình trạng thái khí lý tưởng \(pv = RT\), ta có \(p_1v_1 = RT_1\) và \(p_2v_2 = RT_2\). Thay vào công thức công: \(l = \frac{{RT_2 - RT_1}}{{1-k}} = \frac{{R(T_2 - T_1)}}{{1-k}}\) Bây giờ, ta xét các phương án: * **Phương án 1:** \({l_{kt}} = \frac{k}{{1 - k}}{p_1}{v_1}\left[ {\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} - 1} ight]\). Nếu biến đổi, ta được \(\frac{k}{{1 - k}}RT_1\left[ {\frac{{{T_2} - {T_1}}}{{{T_1}}}} \right] = \frac{kR(T_2 - T_1)}{1-k}\). Công thức này sai vì có thêm hệ số \(k\) so với công thức chuẩn. * **Phương án 2:** \({l_{kt}} = \frac{k}{{1 - k}}({p_2}{v_2} - {p_1}{v_1})\). Biến đổi thành \(\frac{k}{{1 - k}}R(T_2 - T_1)\). Công thức này sai vì có thêm hệ số \(k\) so với công thức chuẩn. * **Phương án 3:** \({l_{kt}} = \frac{1}{{1 - k}}R{T_1}\left[ {{{\left( {\frac{{{p_2}}}{{{p_1}}}} \right)}^{\frac{{k - 1}}{k}}} - 1} ight]\). Đối với quá trình đoạn nhiệt, mối quan hệ giữa nhiệt độ và áp suất là: \(\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{k-1}{k}}\). Thay mối quan hệ này vào biểu thức của phương án 3: \({l_{kt}} = \frac{1}{{1 - k}}R{T_1}\left[ {\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} - 1} \right] = \frac{1}{{1 - k}}R{T_1}\left[ {\frac{{{T_2} - {T_1}}}{{{T_1}}}} \right] = \frac{R(T_2 - T_1)}{1-k}\). Công thức này hoàn toàn khớp với công thức đã được chứng minh. Vì vậy, đây là đáp án đúng. * **Phương án 4:** \({l_{kt}} = \frac{1}{{1 - k}}k{p_1}{v_1}\left[ {{{\left( {\frac{{{p_2}}}{{{p_1}}}} \right)}^{\frac{{k - 1}}{k}}} - 1} \right]\). Biến đổi tương tự phương án 3, ta được \(\frac{kR(T_2 - T_1)}{1-k}\). Công thức này sai vì có thêm hệ số \(k\) so với công thức chuẩn. Như vậy, phương án 3 là công thức đúng để tính công thay đổi thể tích trong quá trình đoạn nhiệt.