Câu hỏi:

- Vì \(\left\{ \begin{array}{l} 0 + 0 < 3 \\ 3 \cdot 0 - 2 \cdot 0 > -4 \end{array} \right.\) nên cặp số \((0 ; 0)\) là nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} x + y \leq 3 \\ 3x - 2y > -4 \end{array} \right.\)

- Vì \(\left\{ \begin{array}{l} 1 + 1 < 3 \\ 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 > -4 \end{array} \right.\) nên cặp số \((1 ; 1)\) là nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} x + y \leq 3 \\ 3x - 2y > -4 \end{array} \right.\)

- Vì \(\left\{ \begin{array}{l} -2 + 2 < 3 \\ 3 \cdot (-2) - 2 \cdot 2 < -4 \end{array} \right.\) nên cặp số \((-2 ; 2)\) không là nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} x + y \leq 3 \\ 3x - 2y > -4 \end{array} \right.\)

- Vì \(\left\{ \begin{array}{l} -1 + 1 < 3 \\ 3 \cdot (-1) - 2 \cdot (-1) > -4 \end{array} \right.\) nên cặp số \((-1 ; -1)\) là nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} x + y \leq 3 \\ 3x - 2y > -4 \end{array} \right.\)

Do \(M\in \text{Oy}\Rightarrow M=\left( 0;y \right)\).

Ta có \(\overrightarrow{MA}=\left( -4;1-y \right)\),\(\overrightarrow{MB}=\left( 5;4-y \right)\),\(\overrightarrow{MC}=\left( -7;-y \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=\left( 6;9-3y\right)\), \(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\left( -2;4-2y \right)\).

Ta có:

\[\begin{array}{*{35}{l}}   P &=2|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}|+3|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|  \\   {} & =2\sqrt{{{6}^{2}}+{{(9-3y)}^{2}}}+3\sqrt{{{(-2)}^{2}}+{{(4-2y)}^{2}}}  \\   {} & =6\left( \sqrt{{{2}^{2}}+{{(3-y)}^{2}}}+\sqrt{{{(-1)}^{2}}+{{(2-y)}^{2}}} \right)=6(ME+MF).  \\ \end{array}\]

Với \(E=\left( 2;3 \right),F=\left( -1;2 \right)\Rightarrow\overrightarrow{EF}=\left( -3;-1 \right)\Rightarrow \left|\overrightarrow{EF} \right|=\sqrt{10}\).

E, F khác phía đối với trục Oy nên \(ME+MF\ge EF\Rightarrow P\ge6\sqrt{10}\).

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(M\) là giao điểm của EF và Oy.

Suy ra \(M\left( 0;\frac{7}{3} \right)\).

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là \(6\sqrt{10}\).