Câu hỏi:

* Ta có: \({{\overrightarrow{n}}_{P}}=\left( 1;0;-1 \right),\text{ }{{\overrightarrow{u}}_{\text{d}}}=\left( -1;0;1 \right)\) \(\Rightarrow d\bot \left( P \right)\) và \(d\cap \left( P \right)=M\left( 0;2;-1 \right)\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{MA}=\left( 2;-1;2 \right)\Rightarrow MA=3\)

* Gọi \(H;\text{ }K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(M\) lên \({{d}_{1}}\) và \({{d}_{2}}\), ta có:

\(d\left( {{d}_{1}};d \right)=d\left( M;{{d}_{1}} \right)=MH,\text{ }d\left( {{d}_{2}};d \right)=d\left( M;{{d}_{2}} \right)=MK\Rightarrow MH=MK=\sqrt{6}\)

\(\Rightarrow \sin \widehat{MAK}=\sin \widehat{MAH}=\frac{HM}{AM}=\frac{\sqrt{6}}{3}\)

\(\Rightarrow \cos \left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right)=\left| \cos \left( 2.\widehat{MAH} \right) \right|=\left| 1-2{{\sin }^{2}}\widehat{MAH} \right|=\left| 1-\frac{4}{3} \right|=\frac{1}{3}\). Vậy, \(a=1,b=3\) nên \(a+b=4\)

Xét điểm \(I\left( a;b;c \right)\) thỏa mãn \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}\). Khi đó \(I\left( \frac{7}{4};\frac{7}{2};0 \right)\).

Ta có \(M A^2+M B^2+M C^2+M D^2=(\overline{M I}+\overline{I A})^2+(\overline{M I}+\overline{I B})^2+(\overline{M I}+\overline{I C})^2+(\overline{M I}+\overline{I D})^2\)

\(=4 M I^2+2 \overline{M I}(\overline{I A}+\overline{I B}+\overline{I C}+\overline{I D})+I A^2+I B^2+I C^2+I D^2\)

\(=4M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}+I{{C}^{2}}+I{{D}^{2}}\ge I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}+I{{C}^{2}}+I{{D}^{2}}\) vì \(M{{I}^{2}}\ge 0\) với mọi điểm \(M\)

Dấu \(''=''\) xảy ra \(\Leftrightarrow M\equiv I\) tức là \(M\left( \frac{7}{4};\frac{7}{2};0 \right)\Rightarrow x+y+z=\frac{7}{4}+\frac{7}{2}\)=5,25

Gọi \(A\) là biến cố: “Lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất”.

 Gọi \(B\) là biến cố: “Lấy được một viên bi trắng ở lần thứ hai”. 

ta cần tính xác suất \(P(A \cap B)\).

Theo công thức nhân xác suất: \(P(A \cap B)=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \cdot \mathrm{P}(\mathrm{B} \mid A)\).

Vì có 30 viên bi xanh trong tổng số 50 viên bi nên \(P(A)=\frac{30}{50}=\frac{3}{5}\).

Nếu \(A\) đã xảy ra, tức là một viên bi xanh đã được lấy ra ở lần thứ nhất, thì còn lại trong bình 49 viên bi trong đó số viên bi trắng là 20 , do đó \(P(B \mid A)=\frac{20}{49}\).

Vậy xác suất cần tìm là: \(P(A \cap B)=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \cdot \mathrm{P}(\mathrm{B} \mid A)=\frac{3}{5} \cdot \frac{20}{49}=\frac{12}{29}=0,41\).

Gọi \(A\) là biến cố “Hà lấy được viên kẹo màu cam ở lần thứ nhất”

Gọi \(B\) là biến cố “Hà lấy được viên kẹo màu cam ở lần thứ hai”

Ta có: xác suất Hà lấy được cả hai viên kẹo màu cam là \(\frac{1}{3}\), suy ra \(P\left( AB \right)=\frac{1}{3}\).

Gọi \(n\) là số viên kẹo ban đầu trong túi \(\left(n \in \mathrm{~N}^*, n \neq 1\right) P(A)=\frac{6}{n} ; P(B \mid A)=\frac{5}{n-1}\).

Theo công thức nhân xác suất, ta có: \(P(A B)=P(A) \cdot P(B \mid A)=\frac{6}{n} \cdot \frac{5}{n-1}=\frac{30}{n^2-n}=\frac{1}{3}\).

\(\Leftrightarrow n^2-n=90 \Leftrightarrow n^2-n-90=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}n=-9 \\ n=10\end{array}\right.\).

Ta được \(n=-9\) (loại) hoặc \(n=10\) (nhận).

Theo định nghĩa thì hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên khoảng \(K\) nếu \({F}'\left( x \right)=f\left( x \right),\forall x\in K.\)