Câu hỏi:

Ta có:
$\overrightarrow{BA} = (-a;0)$
$\overrightarrow{BD} = (-a;a)$
$\overrightarrow{BA} . \overrightarrow{BD} = (-a)*(-a) + 0*a = a^2$
Vậy đáp án D sai.



Ta có: $\overrightarrow{AC} = (a;a)$ và $\overrightarrow{BD} = (-a;a)$
$\overrightarrow{AC} . \overrightarrow{BD} = a*(-a) + a*a = 0$
Vậy đáp án C sai.



Ta có: $\overrightarrow{AC} = (a;a)$ và $\overrightarrow{BC} = (0;a)$
$\overrightarrow{AC} . \overrightarrow{BC} = a*0 + a*a = a^2$
$|\overrightarrow{AC}| = a\sqrt{2}$ và $|\overrightarrow{BC}| = a$
$\cos(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BC}) = \frac{\overrightarrow{AC} . \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AC}|*|\overrightarrow{BC}|} = \frac{a^2}{a\sqrt{2} * a} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
=> góc giữa hai vector AC và BC là 45 độ.
Vậy đáp án B đúng.



Vì vậy đáp án A sai.

Hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0.
$\overrightarrow a \perp \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a . \overrightarrow b = 0$

Ta có: $\overrightarrow{AB} = (1, 1)$ và $\overrightarrow{AC} = (2x, 3x^2 - 3)$.
$\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AC} = 1 * 2x + 1 * (3x^2 - 3) = 3x^2 + 2x - 3$.
Theo đề bài, $\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AC} = 2$ nên $3x^2 + 2x - 3 = 2 \Leftrightarrow 3x^2 + 2x - 5 = 0$.
Phương trình này có hai nghiệm $x_1 = 1$ và $x_2 = \frac{-5}{3}$.
Vậy tổng các giá trị của x là $1 + \frac{-5}{3} = \frac{-2}{3}$.

Let $\overrightarrow{u} = (2, 3x-3)$ and $\overrightarrow{v} = (-1, -2)$. We are looking for the number of integer values of $x$ such that $|\overrightarrow{u}| = |2\overrightarrow{v}|$. First, we find the magnitudes of the vectors. $|\overrightarrow{u}| = \sqrt{2^2 + (3x-3)^2} = \sqrt{4 + 9(x-1)^2} = \sqrt{4 + 9x^2 - 18x + 9} = \sqrt{9x^2 - 18x + 13}$. $|\overrightarrow{v}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$. Thus, $|2\overrightarrow{v}| = 2\sqrt{5} = \sqrt{20}$. Now, we set $|\overrightarrow{u}| = |2\overrightarrow{v}|$, so $\sqrt{9x^2 - 18x + 13} = \sqrt{20}$. Squaring both sides, we get $9x^2 - 18x + 13 = 20$, which simplifies to $9x^2 - 18x - 7 = 0$. Using the quadratic formula, $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, where $a=9, b=-18, c=-7$. So $x = \frac{18 \pm \sqrt{(-18)^2 - 4(9)(-7)}}{2(9)} = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 252}}{18} = \frac{18 \pm \sqrt{576}}{18} = \frac{18 \pm 24}{18}$. Thus, $x_1 = \frac{18+24}{18} = \frac{42}{18} = \frac{7}{3}$ and $x_2 = \frac{18-24}{18} = \frac{-6}{18} = -\frac{1}{3}$. Since we are looking for integer values of $x$, there are no integer solutions. Therefore, the number of integer values of $x$ that satisfy the equation is 0.