Câu hỏi:
Trong không gian với hệ tọa độ . Góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng bằng bao nhiêu độ?
Trả lời:
Đáp án đúng:
Ta có vecto chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\overrightarrow{u} = (2, 1, 1)$ và vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\overrightarrow{n} = (3, 4, 5)$.
Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$. Ta có:
$\sin \alpha = \dfrac{|\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{n}|} = \dfrac{|2\cdot3 + 1\cdot4 + 1\cdot5|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2}} = \dfrac{|6 + 4 + 5|}{\sqrt{6} \sqrt{50}} = \dfrac{15}{\sqrt{300}} = \dfrac{15}{10\sqrt{3}} = \dfrac{3}{2\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
Suy ra $\alpha = 30^\circ$.
Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$. Ta có:
$\sin \alpha = \dfrac{|\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{n}|} = \dfrac{|2\cdot3 + 1\cdot4 + 1\cdot5|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2}} = \dfrac{|6 + 4 + 5|}{\sqrt{6} \sqrt{50}} = \dfrac{15}{\sqrt{300}} = \dfrac{15}{10\sqrt{3}} = \dfrac{3}{2\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
Suy ra $\alpha = 30^\circ$.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
10/09/2025
0 lượt thi
0 / 20
Câu hỏi liên quan
Lời giải:
Đáp án đúng: A
Mặt phẳng $(Oxy)$ có vector pháp tuyến là $\vec{k} = (0, 0, 1)$.
Mặt phẳng $(P): x+y+z-2=0$ có vector pháp tuyến là $\vec{n} = (1, 1, 1)$.
Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $(Oxy)$ và $(P)$. Khi đó:
$\cos \alpha = \dfrac{|\vec{k} \cdot \vec{n}|}{|\vec{k}| |\vec{n}|} = \dfrac{|0\cdot1 + 0\cdot1 + 1\cdot1|}{\sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \dfrac{1}{1 \cdot \sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$
Mặt phẳng $(P): x+y+z-2=0$ có vector pháp tuyến là $\vec{n} = (1, 1, 1)$.
Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $(Oxy)$ và $(P)$. Khi đó:
$\cos \alpha = \dfrac{|\vec{k} \cdot \vec{n}|}{|\vec{k}| |\vec{n}|} = \dfrac{|0\cdot1 + 0\cdot1 + 1\cdot1|}{\sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \dfrac{1}{1 \cdot \sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$
Lời giải:
Đáp án đúng: a
Ta có $\overrightarrow{SD} = (0; 2a; -2a)$. Mặt phẳng $(SAC)$ có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = \left[\overrightarrow{SA}, \overrightarrow{SC}\right] = \left[(0,0,-2a), (a, a, -2a)\right] = (2a^2, -2a^2, 0)$.
Góc giữa $SD$ và $(SAC)$ là $\alpha$.
$\sin \alpha = \dfrac{|\overrightarrow{SD} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{SD}|.|\overrightarrow{n}|} = \dfrac{|0 - 4a^3 + 0|}{\sqrt{0 + 4a^2 + 4a^2}.\sqrt{4a^4 + 4a^4 + 0}} = \dfrac{4a^3}{\sqrt{8a^2}.\sqrt{8a^4}} = \dfrac{4a^3}{8a^3} = \dfrac{1}{2}$.
Suy ra $\alpha = 30^\circ$.
Góc giữa $SD$ và $(SAC)$ là $\alpha$.
$\sin \alpha = \dfrac{|\overrightarrow{SD} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{SD}|.|\overrightarrow{n}|} = \dfrac{|0 - 4a^3 + 0|}{\sqrt{0 + 4a^2 + 4a^2}.\sqrt{4a^4 + 4a^4 + 0}} = \dfrac{4a^3}{\sqrt{8a^2}.\sqrt{8a^4}} = \dfrac{4a^3}{8a^3} = \dfrac{1}{2}$.
Suy ra $\alpha = 30^\circ$.
Lời giải:
Đáp án đúng: D
Gọi $A$ là giao điểm của $\Delta$ và $d$, suy ra $A(1-t; t; 1+2t)$.
Ta có $\overrightarrow{MA}=(1-t; t+1; 2t)$.
Vì $\Delta$ đi qua $M$ và có vector chỉ phương $\overrightarrow{MA}$ nên phương trình tham số của $\Delta$ là:
$\left\{ \begin{aligned}& x=(1-t)u \\& y=-1+(t+1)u \\& z=1+2tu \end{aligned} \right.$
Véc tơ pháp tuyến của $(P)$ là $\overrightarrow{n}=(2; -2; 1)$.
Ta có $\sin \alpha = \dfrac{|\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{MA}|.|\overrightarrow{n}|} = \dfrac{1}{12}$.
$\Leftrightarrow \dfrac{|2(1-t)-2(t+1)+2t|}{\sqrt{(1-t)^2+(t+1)^2+(2t)^2} \cdot \sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}} = \dfrac{1}{12}$
$\Leftrightarrow \dfrac{|-2t|}{\sqrt{6t^2+2} \cdot 3} = \dfrac{1}{12}$
$\Leftrightarrow \dfrac{4t^2}{9(6t^2+2)} = \dfrac{1}{144}$
$\Leftrightarrow 576t^2 = 54t^2 + 18$
$\Leftrightarrow 522t^2 = 18$
$\Leftrightarrow t^2 = \dfrac{1}{29}$
$\Leftrightarrow t = \pm \dfrac{1}{\sqrt{29}}$
Với $t = \dfrac{1}{\sqrt{29}}$ thì $\overrightarrow{MA}=(1-\dfrac{1}{\sqrt{29}}; 1+\dfrac{1}{\sqrt{29}}; \dfrac{2}{\sqrt{29}})$.
$\Rightarrow \overrightarrow{MA}=(\sqrt{29}-1; \sqrt{29}+1; 2)$.
Suy ra phương trình đường thẳng $\Delta$ là:
$\left\{ \begin{aligned}& x=(\sqrt{29}-1)u \\& y=-1+(\sqrt{29}+1)u \\& z=1+2u \end{aligned} \right.$
Với $t = -\dfrac{1}{\sqrt{29}}$ thì $\overrightarrow{MA}=(1+\dfrac{1}{\sqrt{29}}; 1-\dfrac{1}{\sqrt{29}}; -\dfrac{2}{\sqrt{29}})$.
$\Rightarrow \overrightarrow{MA}=(\sqrt{29}+1; \sqrt{29}-1; -2)$.
Suy ra phương trình đường thẳng $\Delta$ là:
$\left\{ \begin{aligned}& x=(\sqrt{29}+1)u \\& y=-1+(\sqrt{29}-1)u \\& z=1-2u \end{aligned} \right.$
Do đó, chỉ có đáp án D thỏa mãn.
Ta có $\overrightarrow{MA}=(1-t; t+1; 2t)$.
Vì $\Delta$ đi qua $M$ và có vector chỉ phương $\overrightarrow{MA}$ nên phương trình tham số của $\Delta$ là:
$\left\{ \begin{aligned}& x=(1-t)u \\& y=-1+(t+1)u \\& z=1+2tu \end{aligned} \right.$
Véc tơ pháp tuyến của $(P)$ là $\overrightarrow{n}=(2; -2; 1)$.
Ta có $\sin \alpha = \dfrac{|\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{MA}|.|\overrightarrow{n}|} = \dfrac{1}{12}$.
$\Leftrightarrow \dfrac{|2(1-t)-2(t+1)+2t|}{\sqrt{(1-t)^2+(t+1)^2+(2t)^2} \cdot \sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}} = \dfrac{1}{12}$
$\Leftrightarrow \dfrac{|-2t|}{\sqrt{6t^2+2} \cdot 3} = \dfrac{1}{12}$
$\Leftrightarrow \dfrac{4t^2}{9(6t^2+2)} = \dfrac{1}{144}$
$\Leftrightarrow 576t^2 = 54t^2 + 18$
$\Leftrightarrow 522t^2 = 18$
$\Leftrightarrow t^2 = \dfrac{1}{29}$
$\Leftrightarrow t = \pm \dfrac{1}{\sqrt{29}}$
Với $t = \dfrac{1}{\sqrt{29}}$ thì $\overrightarrow{MA}=(1-\dfrac{1}{\sqrt{29}}; 1+\dfrac{1}{\sqrt{29}}; \dfrac{2}{\sqrt{29}})$.
$\Rightarrow \overrightarrow{MA}=(\sqrt{29}-1; \sqrt{29}+1; 2)$.
Suy ra phương trình đường thẳng $\Delta$ là:
$\left\{ \begin{aligned}& x=(\sqrt{29}-1)u \\& y=-1+(\sqrt{29}+1)u \\& z=1+2u \end{aligned} \right.$
Với $t = -\dfrac{1}{\sqrt{29}}$ thì $\overrightarrow{MA}=(1+\dfrac{1}{\sqrt{29}}; 1-\dfrac{1}{\sqrt{29}}; -\dfrac{2}{\sqrt{29}})$.
$\Rightarrow \overrightarrow{MA}=(\sqrt{29}+1; \sqrt{29}-1; -2)$.
Suy ra phương trình đường thẳng $\Delta$ là:
$\left\{ \begin{aligned}& x=(\sqrt{29}+1)u \\& y=-1+(\sqrt{29}-1)u \\& z=1-2u \end{aligned} \right.$
Do đó, chỉ có đáp án D thỏa mãn.
Lời giải:
Đáp án đúng: C
Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Vì $ABCD$ là hình thoi nên $AC \perp BD$ tại $O$.\nTa có $AO = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2} \cdot 2a = a$ và $BO = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2a\sqrt{3}}{3} \cdot 2 = \dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$.\nXét tam giác $SOA$ vuông tại $O$, ta có $SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{a^2 - a^2} = 0$, điều này không đúng. Vậy $S$ phải nằm trên trục $Oz$.\nGọi $H$ là hình chiếu của $S$ trên $BD$.\nVì $ABCD$ nằm trong mặt phẳng $Oxy$, nên $SH \perp (ABCD)$.\nGóc giữa $(SBD)$ và $(ABCD)$ là góc $\widehat{SHO}$.\nTa có $SH = a$.\nXét tam giác $SHO$ vuông tại $H$, ta có $\tan \widehat{SHO} = \dfrac{SO}{OH} = \dfrac{a}{\frac{2a\sqrt{3}}{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.\nSuy ra $\widehat{SHO} = \arctan \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 40.89^\circ$.\nTuy nhiên, theo hình vẽ, $SO$ vuông góc với đáy tại $A$, vậy góc giữa $(SBD)$ và $(ABCD)$ là góc giữa $SA$ và $AO$, tức là $\widehat{SAO} = 45^\circ$.
Lời giải:
Đáp án đúng: D
Ta có tọa độ các điểm $A(7; -4; \frac{4}{5})$ và $B(7; 11; 0)$.
Khi đó, $\overrightarrow{AB} = (0; 15; -\frac{4}{5})$.
Mặt phẳng $(Oxy)$ có vector pháp tuyến $\overrightarrow{k} = (0; 0; 1)$.
Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $(Oxy)$.
Ta có:
$\sin \alpha = \dfrac{|\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{k}|}{|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{k}|} = \dfrac{|0 \cdot 0 + 15 \cdot 0 + (-\frac{4}{5}) \cdot 1|}{\sqrt{0^2 + 15^2 + (-\frac{4}{5})^2} \cdot \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} = \dfrac{\frac{4}{5}}{\sqrt{225 + \frac{16}{25}}} = \dfrac{\frac{4}{5}}{\sqrt{\frac{5625 + 16}{25}}} = \dfrac{\frac{4}{5}}{\sqrt{\frac{5641}{25}}} = \dfrac{\frac{4}{5}}{\frac{\sqrt{5641}}{5}} = \dfrac{4}{\sqrt{5641}} \approx 0.0532$.
$\Rightarrow \alpha = \arcsin(0.0532) \approx 3.04^\circ$.
Vậy góc giữa đường bay và sân bay xấp xỉ $3^\circ$.
Khi đó, $\overrightarrow{AB} = (0; 15; -\frac{4}{5})$.
Mặt phẳng $(Oxy)$ có vector pháp tuyến $\overrightarrow{k} = (0; 0; 1)$.
Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $(Oxy)$.
Ta có:
$\sin \alpha = \dfrac{|\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{k}|}{|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{k}|} = \dfrac{|0 \cdot 0 + 15 \cdot 0 + (-\frac{4}{5}) \cdot 1|}{\sqrt{0^2 + 15^2 + (-\frac{4}{5})^2} \cdot \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} = \dfrac{\frac{4}{5}}{\sqrt{225 + \frac{16}{25}}} = \dfrac{\frac{4}{5}}{\sqrt{\frac{5625 + 16}{25}}} = \dfrac{\frac{4}{5}}{\sqrt{\frac{5641}{25}}} = \dfrac{\frac{4}{5}}{\frac{\sqrt{5641}}{5}} = \dfrac{4}{\sqrt{5641}} \approx 0.0532$.
$\Rightarrow \alpha = \arcsin(0.0532) \approx 3.04^\circ$.
Vậy góc giữa đường bay và sân bay xấp xỉ $3^\circ$.
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Tiếng Anh 12 – I-Learn Smart World – Năm Học 2025-2026
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Tiếng Anh 12 – Global Success – Năm Học 2025-2026
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Hóa Học 12 – Kết Nối Tri Thức – Năm Học 2025-2026
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Hóa Học 12 – Chân Trời Sáng Tạo – Năm Học 2025-2026
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Công Nghệ 12 – Kết Nối Tri Thức – Năm Học 2025-2026
