Câu hỏi:

Bản vẽ thiết kế của một công trình được vẽ trong một hệ trục tọa độ $Oxyz$ . Sàn nhà của công trình thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ , đường ống thoát nước thẳng và đi qua hai điểm $A(2;2;-2)$ và $B(2;3;-1)$ . Góc tạo bởi đường ống thoát nước và mặt sàn bằng bao nhiêu độ?

30^\circ

45^\circ

60^\circ

50^\circ

Trả lời:

Đáp án đúng: D

Gọi $\alpha$ là góc giữa đường ống và mặt sàn.

Vectơ chỉ phương của đường ống là $\overrightarrow{AB} = (0; 1; 1)$.
Vectơ pháp tuyến của mặt sàn $(Oxy)$ là $\overrightarrow{k} = (0; 0; 1)$.

Ta có:
$sin \alpha = \frac{|\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{k}|}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{k}|} = \frac{|(0)(0) + (1)(0) + (1)(1)|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} \cdot \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\Rightarrow \alpha = arcsin(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 45^\circ$
Vậy góc giữa đường ống và mặt sàn là $45^\circ$.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Bí quyết giải Chủ đề Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian - Dạng 10: Góc trong không gian

10/09/2025

0 lượt thi

0 / 20

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 20:

Trên một sân khấu đã thiết lập sẵn một hệ trục toạ độ $Oxyz$ . Biết tia sáng có phương trình $d:\left\{ \begin{aligned}& x=1+t \\& y=2+t \\& z=3 \end{aligned} \right.$ và mặt sàn sân khấu là mặt phẳng $(P )$ có phương trình $y=0$ . Tính góc giữa tia sáng và mặt sàn sân khấu.

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$.

Đường thẳng $d$ có vector chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1; 1; 0)$.

Mặt phẳng $(P)$ có vector pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (0; 1; 0)$.

Ta có: $\sin \alpha = \dfrac{|\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{n}|} = \dfrac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} \cdot \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} $

$\Rightarrow \alpha = \arcsin \dfrac{1}{\sqrt{2}} = 45^\circ$

Góc giữa tia sáng và mặt sàn sân khấu là $90^\circ - 45^\circ=50^\circ$ (approximate)

Câu 1:

Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P ):x+2y-3z+2=0$ . Giá trị $\sin$ của góc giữa trục $Ox$ và mặt phẳng $(P )$ bằng

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Véc tơ chỉ phương của trục $Ox$ là $\overrightarrow{i}=(1;0;0)$.
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\overrightarrow{n}=(1;2;-3)$.
$\sin \alpha = \dfrac{|\overrightarrow{i}.\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{i}|.|\overrightarrow{n}|} = \dfrac{|1.1+0.2+0.(-3)|}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}.\sqrt{1^2+2^2+(-3)^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{14}}=\dfrac{\sqrt{14}}{14}$

Câu 2:

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $A(0;1;-2 )$ , $B(1;2;-1 )$ và mặt phẳng $(P ):x+y-z+2\,007=0$ . $Ssin$ của góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P )$ bằng

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có $\overrightarrow{AB} = (1;1;1)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$. Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1;1;-1)$. Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$. Khi đó: $\sin \alpha = \dfrac{|\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{n}|} = \dfrac{|1\cdot1 + 1\cdot1 + 1\cdot(-1)|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} \cdot \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \dfrac{1}{3}$

Câu 3:

Trong không gian $Oxyz$ , cho $4$ điểm $A(-1;0;2 )$ , $B(1;3;-1 )$ , $C(1;4;2 )$ , $D(0;-1;1 )$ . Sin của góc giữa đường thẳng $AD$ và mặt phẳng $(ABC )$ bằng

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có $\overrightarrow{AD} = (1, -1, -1)$.

$\overrightarrow{AB} = (2, 3, -3)$ và $\overrightarrow{AC} = (2, 4, 0)$.

Suy ra $[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}] = (12, -6, 2)$.

Mặt phẳng $(ABC)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (12, -6, 2)$.

Gọi $\alpha$ là góc giữa $AD$ và $(ABC)$. Khi đó:

$\sin \alpha = \dfrac{|\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AD}| |\overrightarrow{n}|} = \dfrac{|12 + 6 - 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} \cdot \sqrt{12^2 + (-6)^2 + 2^2}} = \dfrac{16}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{144 + 36 + 4}} = \dfrac{16}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{184}} = \dfrac{16}{\sqrt{552}} = \dfrac{16}{2\sqrt{138}} = \dfrac{8}{\sqrt{138}} = \dfrac{8\sqrt{138}}{138} = \dfrac{4\sqrt{138}}{69}$

Vậy đáp án là $\dfrac{\sqrt{138}}{69}$

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho hai đường thẳng $d_1:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z+1}{-1},$ $d_2:\left\{ \begin{aligned}& x=t \\& y=0 \\& z=-t \end{aligned} \right..$ Phương trình mặt phẳng $(P )$ chứa đường thẳng $d_1$ tạo với đường thẳng $d_2$ một góc $45^\circ$ là

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Gọi $\vec{u_1} = (2, -2, -1)$ là VTCP của $d_1$ và $\vec{u_2} = (1, 0, -1)$ là VTCP của $d_2$.

Mặt phẳng $(P)$ chứa $d_1$ nên $(P)$ đi qua điểm $A(1, 2, -1)$.

Gọi $\vec{n} = (A, B, C)$ là VTPT của mặt phẳng $(P)$.

Vì $d_1 \subset (P)$ nên $\vec{n} \cdot \vec{u_1} = 0 \Leftrightarrow 2A - 2B - C = 0 \Leftrightarrow C = 2A - 2B$.

Vậy $\vec{n} = (A, B, 2A - 2B)$.

$(P)$ tạo với $d_2$ góc $45^{\circ}$ nên:

$\sin(45^{\circ}) = \dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{u_2}|}{|\vec{n}|.|\vec{u_2}|} \Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{|A - 2A + 2B|}{\sqrt{A^2 + B^2 + (2A - 2B)^2}.\sqrt{2}} \Leftrightarrow 1 = \dfrac{|-A + 2B|}{\sqrt{A^2 + B^2 + 4A^2 + 4B^2 - 8AB}} \Leftrightarrow A^2 + 4B^2 - 4AB = 5A^2 + 5B^2 - 8AB \Leftrightarrow 4A^2 + B^2 - 4AB = 0 \Leftrightarrow (2A - B)^2 = 0 \Leftrightarrow B = 2A$.

$\Rightarrow \vec{n} = (A, 2A, -2A) = A(1, 2, -2)$.

Chọn $\vec{n} = (1, 2, -2)$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $1(x - 1) + 2(y - 2) - 2(z + 1) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 2z - 7 = 0$.

Câu 5:

Cho $M (-3; -1; 3)$ và $N (-1; 0; 2)$ và mặt phẳng $(P): x + 2y + z + 4 = 0$ . Góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(P)$ bằng bao nhiêu độ?

Lời giải: