Câu hỏi:

\({u_1} = \frac{1}{{{4^1}}};{u_2} = \frac{1}{{{4^2}}};{u_3} = \frac{1}{{{4^3}}};{u_4} = \frac{1}{{{4^4}}};{u_5} = \frac{1}{{{4^5}}};...\) nên ta dự đoán số hạng tổng quát của dãy số là \({u_n} = \frac{1}{{{4^n}}}\)

Đáp án C

Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right)a + 3}}{{n + 1 + 1}} = \frac{{na + a + 3}}{{n + 2}}\)

Xét: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{na + a + 3}}{{n + 2}} - \frac{{na + 3}}{{n + 1}} = \frac{{\left( {na + a + 3} \right)\left( {n + 1} \right) - \left( {na + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{{n^2}a + na + 3n + na + a + 3 - {n^2}a - 3n - 2na - 6}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{{a - 3}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)

Để \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng thì \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\), tức là \(\frac{{a - 3}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)

Mà \(\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) > 0\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\) nên \(\frac{{a - 3}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0 \Leftrightarrow a - 3 > 0 \Leftrightarrow a > 3\)

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng khi \(a > 3\)

Đáp án D

Xét dãy số: \(1;2;3;5;8\) ta thấy, \(2 = 1 + 1,3 = 2 + 1,5 = 3 + 2\) nên dãy số \(1;2;3;5;8\) không phải cấp số cộng

Các dãy số còn lại, kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi nên các dãy số là cấp số cộng.

Đáp án D

Số tiền nuôi lợn của An mỗi ngày lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 1\;000\), công sai \(d = 2\;000\). Cấp số cộng này gồm có 89 số hạng.

Tổng số tiền An nhét vào lợn đất là: \(S = \frac{{\left[ {2.1\;000 + \left( {89 - 1} \right)2\;000} \right]89}}{2} = 7\;921\;000\) (đồng)

Đáp án B

Ta xác định được 3 mặt phẳng là: mp (a, b), mp (b, c), mp (c, a). Vậy có 3 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đáp án C