Câu hỏi:

Gọi $h$ là độ cao ban đầu của vật, $t$ là thời gian rơi của vật. Quãng đường vật rơi trong 3s cuối là $\frac{h}{5}$. Quãng đường vật rơi trong thời gian $t-3$ là $h - \frac{h}{5} = \frac{4h}{5}$. Ta có:

• $h = \frac{1}{2}gt^2 = 5t^2$
• $\frac{4h}{5} = \frac{1}{2}g(t-3)^2 = 5(t-3)^2$

Suy ra: $\frac{4}{5} (5t^2) = 5(t-3)^2 \Leftrightarrow 4t^2 = 5(t^2 - 6t + 9) \Leftrightarrow 4t^2 = 5t^2 - 30t + 45 \Leftrightarrow t^2 - 30t + 45 = 0$ Giải phương trình bậc 2, ta được $t = \frac{30 \pm \sqrt{30^2 - 4(45)}}{2} = \frac{30 \pm \sqrt{720}}{2} = 15 \pm 6\sqrt{5}$. Vì $t > 3$, nên $t = 15 + 6\sqrt{5} \approx 28.416s$. Vậy $h = 5t^2 = 5(15 + 6\sqrt{5})^2 = 5(225 + 180\sqrt{5} + 180) = 5(405 + 180\sqrt{5}) = 2025 + 900\sqrt{5} \approx 4051.25m$. Hoặc: $t = 15 - 6\sqrt{5} \approx 1.58 < 3$, loại Từ $\frac{4h}{5} = 5(t-3)^2$ suy ra $t = 3 + \sqrt{\frac{4h}{25}}$. Thay vào $h=5t^2$ ta có: $h = 5(3 + \sqrt{\frac{4h}{25}})^2 \Leftrightarrow h = 5(9 + 6\sqrt{\frac{4h}{25}} + \frac{4h}{25}) \Leftrightarrow h = 45 + 12\sqrt{h} + \frac{4h}{5} \Leftrightarrow \frac{h}{5} - 12\sqrt{h} - 45 = 0 \Leftrightarrow h - 60\sqrt{h} - 225 = 0$. Đặt $x = \sqrt{h}$, ta có $x^2 - 60x - 225 = 0 \Rightarrow x = 30 + 15\sqrt{5} \Rightarrow h = (30 + 15\sqrt{5})^2 = 900 + 900\sqrt{5} + 1125 = 2025 + 900\sqrt{5} \approx 4031.25 m$. Tuy nhiên, nếu tính quãng đường đi trong 3s cuối: $h/5 = 4051.25/5 \approx 806.25m$. $h = 5t^2 \Leftrightarrow t = \sqrt{h/5}$