Câu hỏi:

Ta có: $A = {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha = {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha - 2 \tan \alpha \cot \alpha + 2 \tan \alpha \cot \alpha = {(\tan \alpha - \cot \alpha)^2} + 2 \tan \alpha \cot \alpha$.

Vì $\tan \alpha \cot \alpha = 1$ nên $A = {(\tan \alpha - \cot \alpha)^2} + 2 = {3^2} + 2 = 9 + 2 = 11$.

a) Đúng. Thay tọa độ hai điểm $A(0 ; 2)$ và $B(2 ; 0)$ vào phương trình đường thẳng $d: x+y-2=0$ ta thấy thỏa mãn.

b) Đúng. Thay $x=0, y=0$ vào bất phương trình $x+y-2 \geq 0$, ta được $-2 \geq 0$ (vô lí) nên gốc toạ độ $O(0 ; 0)$ không thuộc miền nghiệm của bất phương trình $x+y-2 \geq 0$.

c) Đúng. Thay $x=1, y=4$ vào bất phương trình $x+y-2 \geq 0$, ta được $3 \geq 0$ (đúng) nên điểm $M(1 ; 4)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình $x+y-2 \geq 0$.

d) Sai. Phần không bị gạch trong hình bên dưới (bao gồm cả bờ $d: x+y-2=0$ ) là miền nghiệm của bất phương trình $x+y-2 \geq 0$.

.

Ta xét từng đáp án:

• a) Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$. Do đó, $MN = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$. Vậy a) đúng.


• b) Vì $N$ là trung điểm của $BC$ nên $\overrightarrow{NB} = -\overrightarrow{NC} = \overrightarrow{CN}$. Vậy b) đúng.


• c) Ta có $\overrightarrow{CM} - \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{NM}$. Do đó c) sai.


• d) $\overrightarrow{CM} - \overrightarrow{NB} = \overrightarrow{CM} + \overrightarrow{BN}$. Gọi $P$ là trung điểm của $AB$. Ta có $\overrightarrow{CM} + \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN} + \overrightarrow{BP} + \overrightarrow{PN} = \overrightarrow{MP} + \overrightarrow{PN} = \overrightarrow{MN}$. Vậy $\left| {\overrightarrow {CM}  - \overrightarrow {NB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MN} } \right| = MN = \frac{a}{2}$. Vậy d) đúng.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề $P$: “${x^2} - 3x + 4 = 0$ vô nghiệm” là mệnh đề “${x^2} - 3x + 4 = 0$ có nghiệm” hoặc “${x^2} - 3x + 4 = 0$ không vô nghiệm”.

Vậy có 2 phát biểu là phủ định của mệnh đề $P$.

Ta có $\tan \alpha = 1 \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{4} + k\pi$. Khi đó:

• $\sin \alpha = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$


• $\cos \alpha = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Do đó, $\sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha = \frac{1}{2}$.

Thay vào biểu thức $B$, ta được:

$B = \frac{\frac{1}{2} + 1}{2 \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = 3$.