Câu hỏi:

Sau tháng thứ \(2\) người lao động có:

\(\left( 4\left( 1+0,6\% \right)+4 \right)\left( 1+0,6\% \right)=4\left[ {{\left( 1+0,6\% \right)}^{2}}+\left( 1+0,6\% \right) \right]\)

(triệu đồng).

\(...\)

Sau tháng thứ \(300\) người lao động có:

\(4\left[ {{\left( 1+0,6\% \right)}^{300}}+{{\left( 1+0,6\% \right)}^{299}}+...+\left( 1+0,6\% \right) \right]\)

\(=4\left( 1+0,6\% \right)\frac{{{\left( 1+0,6\% \right)}^{300}}-1}{\left( 1+0,6\% \right)-1}\approx 3\,364\,866\,000\) (đồng).

Trong mặt phẳng \(\left( SAB \right),\) từ \(M\) kẻ đường thẳng song song với \(SB\) cắt \(SA\) tại \(Q.\)

Trong mặt phẳng \(\left( ABC \right),\) từ \(M\) kẻ đường thẳng song song với \(OA\) cắt \(BC\) tại \(N.\)

Trong mặt phẳng \(\left( SBC \right),\) từ \(N\) kẻ đường thẳng song song với \(SB\) cắt \(SC\) tại \(P.\)

\(\Rightarrow MNPQ\) là hình thang.

Mà \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   MN//OA  \\   MQ//SB  \\   SB\bot OA  \\\end{array}\Rightarrow MN\bot MQ \right.\).

\(\Rightarrow MNPQ\) là hình thang vuông tại \(M\) và \(N.\)

\(\Rightarrow {{S}_{MNPQ}}=\frac{MN\left( MQ+NP \right)}{2}.\)

Mặt khác, \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(N,Q\) là trung điểm các cạnh \(BO,\,SA.\)

Ta có \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABO\).

\(\Rightarrow MN=\frac{AO}{2}=\frac{BC}{4}=\frac{AB}{4\text{cos}{{60}^{\circ }}}=\frac{8}{4.\frac{1}{2}}=1.\)

Ta có: \(MQ\) là đường trung bình của tam giác SAB

\(\Rightarrow MQ=\frac{SB}{2}=\frac{8}{2}=4.\)

Xét tam giác \(SBC\) có \(NP\) // SB 

\(\Rightarrow \frac{NP}{SB}=\frac{CN}{CB}=\frac{3}{4}\)\(\Rightarrow NP=\frac{3}{4}.8=6.\)

Vậy hình thang vuông \(MNPQ\) có diện tích bằng: \({{S}_{MNPQ}}=\frac{1.\left( 4+6 \right)}{2}=5\) (đvdt).

Vì \(\underset{x\to 2}{\mathop{\text{lim}}}\,\left( x-2 \right)=0\) nên để tồn tại \(\underset{x\to 2}{\mathop{\text{lim}}}\,\frac{ax+b}{x-2}=3\) thì trước hết ta phải có \(\underset{x\to 2}{\mathop{\text{lim}}}\,\left( ax+b \right)=0\).

Suy ra \(2a+b=0\) hay \(b=-2a\).

Khi đó \(\underset{x\to 2}{\mathop{\text{lim}}}\,\frac{ax+b}{x-2}\)\(=\underset{x\to 2}{\mathop{\text{lim}}}\,\frac{ax-2a}{x-2}\)\(=\underset{x\to 2}{\mathop{\text{lim}}}\,\frac{a\left( x-2 \right)}{x-2}\)\(=\underset{x\to 2}{\mathop{\text{lim}}}\,a=a\).

Do đó \(a=3,b=-6\). 

Suy ra \(a+b=-3\).

Ta có \(PN\) là hình chiếu song song của \(EH\) lên \(\left( ABCD \right)\) theo phương \(GM\) và \(EH\) // \(\left( ABCD \right)\) nên \(EH\) // \(PN\) và \(EH=PN\) (1)

Mặt khác, theo giả thiết ta có \(EH\) // \(DM\) và \(EH=DM\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(PN\) // \(DM\) và \(PN=DM\). 

Do đó \(MNPD\) là hình bình hành. (3)

Mặt khác, do \(MN\) là hình chiếu song song của \(GH\) lên \(\left( ABCD \right)\) theo phương \(GM\) và \(GH\) // \(\left( ABCD \right)\) nên \(MN\) // \(GH\) và \(MN=GH\). 

Suy ra \(MN\) // \(CD\) và \(MN=CD\). (4)

Từ (3) và (4) suy ra ba điểm \(C,\,D,\,P\) thẳng hàng và \(D\) là trung điểm \(CP\).

Khi đó phần bóng râm cần tính diện tích được minh họa như hình vẽ bên dưới:

Theo tính chất của hình học phẳng, ta dễ thấy rằng \(\Delta APD\), \(\Delta MCD\) là các tam giác vuông tại \(D\) và \(MNPD\) là hình chữ nhật.

Vậy diện tích phần bóng râm cần tính là:

\(S={{S}_{\Delta APD}}+{{S}_{\Delta MCD}}+{{S}_{MNPD}}=\frac{1}{2}.8.2+\frac{1}{2}.8.2+8.2=32\) (\({{m}^{2}}\)).

Dãy số \(\left( {{u}_{n}} \right)\) là cấp số cộng với \({{u}_{1}}=-\frac{1}{2};\,d=\frac{1}{2}\), nên ta có:

\[{{u}_{1}}=-\frac{1}{2};\,{{u}_{2}}=0;\,{{u}_{3}}=\frac{1}{2};\,{{u}_{4}}=1;\,{{u}_{5}}=\frac{3}{2};...\]