Ta có:
- $\cos(-108^{\circ}) = \cos(108^{\circ}) = -\cos(72^{\circ})$
- $\cot(72^{\circ}) = \frac{\cos(72^{\circ})}{\sin(72^{\circ})}$
- $\tan(-162^{\circ}) = -\tan(162^{\circ}) = \tan(18^{\circ})$
- $\sin(108^{\circ}) = \sin(72^{\circ})$
Do đó, $A = \frac{-\cos(72^{\circ}) \cdot \frac{\cos(72^{\circ})}{\sin(72^{\circ})}}{\tan(18^{\circ}) \cdot \sin(72^{\circ})} - \tan(18^{\circ}) = \frac{-\cos^2(72^{\circ})}{\tan(18^{\circ})\sin^2(72^{\circ})} - \tan(18^{\circ})$
$= \frac{-\cos^2(72^{\circ})}{\frac{\sin(18^{\circ})}{\cos(18^{\circ})}\sin^2(72^{\circ})} - \tan(18^{\circ}) = \frac{-\cos^2(72^{\circ}) \cos(18^{\circ})}{\sin(18^{\circ})\sin^2(72^{\circ})} - \tan(18^{\circ})$
Vì $72^{\circ} = 90^{\circ} - 18^{\circ}$ nên $\sin(72^{\circ}) = \cos(18^{\circ})$ và $\cos(72^{\circ}) = \sin(18^{\circ})$.
$A = \frac{-\sin^2(18^{\circ}) \cos(18^{\circ})}{\sin(18^{\circ})\cos^2(18^{\circ})} - \tan(18^{\circ}) = -\frac{\sin(18^{\circ})}{\cos(18^{\circ})} - \tan(18^{\circ}) = -\tan(18^{\circ}) - \tan(18^{\circ}) = -2\tan(18^{\circ})$
Tuy nhiên, các đáp án không phù hợp. Có vẻ như có lỗi trong đề bài hoặc đáp án. Nếu đề bài là $A = \frac{{\cos ( - 108^\circ ).\cot 72^\circ }}{{\tan ( - 162^\circ ).\sin 108^\circ }} + \tan 18^\circ $ thì $A = -\tan(18^{\circ}) + \tan(18^{\circ}) = 0$.
Nếu đề bài là $A = \frac{{\cos ( - 108^\circ ).\cot 72^\circ }}{{\tan ( - 162^\circ ).\sin 108^\circ }} $ thì $A = -\tan(18^{\circ})$.
Nếu biểu thức là $A = \frac{{\cos ( - 108^\circ ).\cot 72^\circ }}{{\tan ( - 162^\circ ).\sin 108^\circ }} - 1$ thì $A = -\tan(18^{\circ})-1$
Xét biểu thức $A = \frac{{\cos ( - 108^\circ ).\cot 72^\circ }}{{\tan ( - 162^\circ ).\sin 108^\circ }} - \frac{1}{2}$ thì kết quả khác.
Nếu kết quả là $\frac{1}{2}$ thì biểu thức ban đầu phải là $A = \frac{{\cos ( - 108^\circ ).\cot 72^\circ }}{{\tan ( - 162^\circ ).\sin 108^\circ }} + \frac{3}{2}$
Với biểu thức đã cho, không có đáp án nào đúng.
