Câu hỏi:

Do \(AH\bot BC\) nên \(\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{CB}=0\).

Do \(BH\bot AC\) nên \(\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{CA}=0\).

Gọi \(D\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BC\). Khi đó, sử dụng công thức hình chiếu ta có:

\(\begin{array}{*{35}{l}} \overrightarrow{MH}\cdot \overrightarrow{MA} & =(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CH})(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BA}) \\ {} & =\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CH}\cdot \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{CH}\cdot \overrightarrow{BA} \\ {} & =-\frac{BC}{4}+\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{BD}+\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{MB}(\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{BD})-\frac{B{{C}^{2}}}{4} \\ {} & =\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{CB}-\frac{B{{C}^{2}}}{4} \\ {} & =\frac{B{{C}^{2}}}{2}-\frac{B{{C}^{2}}}{4}=\frac{B{{C}^{2}}}{4} \\ \end{array}\)

Theo chứng minh trên ta có:

\(M{{H}^{2}}+M{{A}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MH}-\overrightarrow{MA} \right)}^{2}}+2\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{MA}=A{{H}^{2}}+\frac{B{{C}^{2}}}{2}.\)

a) Điểm trung bình các môn học kì I của bạn An là:

\(\bar{x}=\frac{7,2+8,0+5,8+7,2+9,0+4,6}{6}\approx 7,0\).

Suy ra mệnh đề đúng

b) Điểm trung bình các môn học kì I của bạn An là:

\(\bar{x}=\frac{7,2+8,0+5,8+7,2+9,0+4,6}{6}\approx 7,0\).

Suy ra mệnh đề sai.

c) Điểm số cao nhất là \(9,0\).

Điểm số thấp nhất là \(4,6\).

Khoảng biến thiên \(R=9-4,6=4,4\).

Suy ra mệnh đề sai.

d) Sắp xếp các điểm theo thứ tự không giảm:

\(\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|} \hline 4,6 & 5,8 & 7,2 & 7,2 & 8 & 9\\ \hline \end{array}\)

Trung vị \({{M}_{e}}=\frac{7,2+7,2}{2}=7,2\).

Suy ra \({{Q}_{2}}={{M}_{e}}=7,2\).

Nửa số liệu bên trái \({{Q}_{2}}\) là \(4,6\,\,\,\,\,\,5,8\,\,\,\,\,\,7,2\,\,\,\,\,\,7,2\).

Suy ra \({{Q}_{1}}=5,8\).

Nửa số liệu bên phải \({{Q}_{2}}\) là \(7,2\,\,\,\,\,\,8\,\,\,\,\,\,9\).

Suy ra \({{Q}_{3}}=8\).

Khoảng tứ phân vị \({{\Delta }_{Q}}={{Q}_{3}}-{{Q}_{1}}=8-5,8=2,2\).

Suy ra mệnh đề đúng.

Khi đó, số tiền mà người thợ mộc thu được là: 

\(f\left( x;y \right)=150x+50y\) (nghìn đồng).

Yêu cầu bài toán trở thành tìm \(x\) và \(y\) để hàm số \(f\left( x;y \right)=150x+50y\) đạt giá trị lớn nhất với \(x\), \(y\) thỏa mãn hệ sau:

\(\left\{ \begin{align} & 6x+3y\le 40 \\ & y\ge 3x \\ & x+\frac{y}{4}\le 4 \\ & x,\,y\ge 0 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 6x+3y\le 40 \\ & y\ge 3x \\ & 4x+y\le 16 \\ & x,\,y\ge 0 \\ \end{align} \right.\) (*).

Miền nghiệm của hệ (*) là tứ giác \(OABC\) (kể cả biên)

Ta có toạ độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{align}  & y=3x \\  & 4x+y=16 \\ \end{align} \right.\)\(\Rightarrow A\left( \frac{16}{7};\frac{48}{7} \right)\);

Toạ độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{align}  & 6x+3y=40 \\  & 4x+y=16 \\ \end{align} \right.\)\(\Rightarrow B\left( \frac{4}{3};\frac{32}{3} \right)\);

Toạ độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{align}  & x=0 \\  & 6x+3y=40 \\ \end{align} \right.\)\(\Rightarrow C\left( 0;\frac{40}{3} \right)\).

Thay tọa độ của từng điểm \(A,\,B,\,C\) vào hệ (*), ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất khi \(x=4;\,y=32\).

Vậy người thợ này cần sản xuất \(4\) cái bàn và \(32\) cái ghế trong vòng \(3\) tuần để thu về số tiền lãi lớn nhất.

Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\), ta có

\(\frac{AB}{\text{sin}C}=2R\) \(\Rightarrow R=\frac{AB}{2\text{sin}C}\)\(\approx \frac{9,5}{2\text{sin}{{60}^{\circ }}}\approx 5,5\) (cm).

Nửa số liệu bên trái là \(7,\,\,\,8,\,\,\,11,\,\,\,13\) gồm \(4\) giá trị, hai phần tử chính giữa là \(8\), \(11\).

Do đó, \({{Q}_{1}}=\left( 8+11 \right)\,:\,2=9,5\).

Nửa số liệu bên phải là \(18,\,\,\,19,\,\,\,20,\,\,\,22\) gồm \(4\) giá tri, hai phần tử chính giữa là \(19\), \(20\).

Do đó, \({{Q}_{3}}=\left( 19+20 \right)\,:\,2=19,5\).

Vậy khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu là \({{\Delta }_{Q}}=19,5-9,5=10\).