Câu hỏi:

Mệnh đề P đúng khi \(x \in \left\{ {1;2;...;99} \right\}\).

Số các giá trị x chẵn là: \(\frac{{98 - 2}}{2} + 1 = 49\).

Đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) đi qua hai điểm \(\left( {\frac{3}{2};0} \right)\) và \(\left( {0;3} \right)\).

Phương trình đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) là:

\(\frac{{x - 0}}{{\frac{3}{2} - 0}} = \frac{{y - 3}}{{0 - 3}}\)\( \Leftrightarrow \frac{x}{{\frac{3}{2}}} = \frac{{y - 3}}{{ - 3}}\) hay \(2x + y = 3\).

Do đó phần nửa mặt phẳng không tô màu (kể cả bờ) trong hình vẽ biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(2x + y \le 3\).

Vậy \(a = 2,\,b = 1\). Suy ra \(10.2 - \frac{1}{5} = 19,8\).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le y \le 4\\x \ge 0\\x - y - 1 \le 0\\x + 2y - 10 \le 0\end{array} \right.\) là tứ giác ABCD

Trong đó \(A\left( {0;4} \right)\), \(B\left( {2;4} \right)\), \(C\left( {4;3} \right)\), \(D\left( {0; - 1} \right)\).

Giá trị lớn nhất của biểu thức \(F\left( {x;y} \right) = x + 2y\) đạt tại các điểm \(A,\,B,\,C,\,D\).

Ta có: \(F\left( A \right) = 8\), \(F\left( B \right) = 10\), \(F\left( C \right) = 10\), \(F\left( D \right) =  - 2\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(F\left( {x;y} \right) = x + 2y\) bằng 10.

Ta có: \(\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {CO}  - \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {BO} \)

suy ra \(\left| {\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {CB} \left|  =  \right|\overrightarrow {BO} } \right| = BO\)

Ta có: \(BO = \frac{{BD}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy \(m = 2,\,n = 2\). Do đó \(T = {m^2} + {n^2} = 8\).

Gọi I là điểm sao cho \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + 2\overrightarrow {IC}  = 0\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = 2\overrightarrow {CI} \)

\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IK}  = 2\overrightarrow {CI} \) (K là trung điểm AB)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {IK}  = \overrightarrow {CI} \)

Suy ra I là trung điểm của CK.

Khi đó:

\(T = \left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC} } \right|\)

\(T = \left| {4\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + 2\overrightarrow {IC} } \right|\)

\(T = \left| {4\overrightarrow {MI} } \right|\)

\(T = 4MI\)

T đạt giá trị nhỏ nhất \( \Leftrightarrow MI\) nhỏ nhất.

mà \(M \in BC\) nên \(MI = BC\)

Xét tam giác ABC ta có:

\(BC = 5\); \(CK = \sqrt {{4^2} + 1,{5^2}}  = \frac{{\sqrt {73} }}{2}\).

\( \Rightarrow IC = \frac{{\sqrt {73} }}{4}\)

Lại có: \(\frac{4}{{{\rm{sin}}\left( B \right)}} = \frac{5}{{{\rm{sin}}A}}\) (định lí sin)

\( \Leftrightarrow \frac{4}{{{\rm{sin}}\left( B \right)}} = \frac{5}{{{\rm{sin}}{{90}^ \circ }}}\).

\( \Rightarrow \hat B = 53,1301...\)

Áp dụng định lí sin trong tam giác CBK có:

\(\frac{5}{{{\rm{sin}}\left( {BCK} \right)}} = \frac{{\frac{{\sqrt {73} }}{2}}}{{{\rm{sin}}\left( {53,1301...} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow \widehat {BCK} \approx 16,31\).

Áp dụng định lí sin trong tam giác CIM có:

\(\frac{{IM}}{{{\rm{sin}}\widehat {BCK}}} = \frac{{CI}}{{{\rm{sin}}{{90}^ \circ }}}\)

\( \Rightarrow IM \approx 0,6\)

\( \Rightarrow {\rm{min}}T = 2,4\).