Câu hỏi:

Ta có: \(f(1)=a-\frac{1}{2}\) và \(\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim}}\,\left( ax-\frac{1}{2} \right)=a-\frac{1}{2}\);\(\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x}-1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=\underset{x\to{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{1}{2}.\)

Hàm số \(f(x)\) liên tục tại \(x=1\) khi và chỉ khi

\(f(1)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f(x)\Leftrightarrow a-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=1\)

- Tìm giao tuyến \(d\) của \((SAB)\) và \((GIJ)\):

Dễ thấy \(G\in (SAB)\cap (GIJ)\Rightarrow G\in d\) với\(d=(SAB)\cap (GIJ)\).

IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên \(IJ//AB\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   d=(SAB)\cap (GIJ)  \\   AB//IJ  \\   AB\subset (SAB),IJ\subset (GIJ)  \\ \end{array}\Rightarrow d//AB//IJ \right.\)

Vậy giao tuyến \(d\) của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((GIJ)\) là đường thẳng \(d\) qua \(G\) và song song với đường thẳng AB.

- Tìm điều kiện của AB và CD để MNJI là hình bình hành:

Gọi \(E\) là trung điểm AB.

Ta có:\(MN//IJ;MNJI\) là hình bình hành khi và chi khi \(MN=IJ\).(1)

Vì \(MG//AE\Rightarrow\frac{SM}{SA}=\frac{SG}{SE}=\frac{2}{3}\) ( \(G\) là trọng tâmcủa tam giác SAB).

Vì \(MN//AB\Rightarrow\frac{MN}{AB}=\frac{SM}{SA}=\frac{2}{3}\Rightarrow MN=\frac{2}{3}AB\).

Vì IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên\(IJ=\frac{AB+CD}{2}\).

Từ (1), (2), (3), ta có:\(\frac{2}{3}AB=\frac{AB+CD}{2}\Leftrightarrow 4AB=3AB+3CD\Leftrightarrow AB=3CD.\)

Vậy với hình chóp ban đầu có \(AB=3CD\) thì MNJI là hình bình hành

Cỡ mẫu của mẫu số liệu là \(n=100\).

Gọi \({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},\ldots ,{{x}_{100}}\) là số học sinh trong một lớp học khối 11 được điều tra được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Trung vị của mẫu số liệu là \(\frac{{{x}_{50}}+{{x}_{51}}}{2}\in[42;44)\).

Ta có: \({{n}_{m}}=30;C=9+15+25=49;{{u}_{m}}=42;{{u}_{m+1}}=44\).

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({{M}_{e}}=42+\frac{\frac{100}{2}-49}{30}(44-42)=\frac{631}{15}\approx 42,07.\)

\(\begin{align}  C&=\frac{{{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}y-{{\cos }^{2}}x{{\cos}^{2}}y}{{{\sin }^{2}}x{{\sin }^{2}}y}=\frac{{{\cos}^{2}}x\left( 1-{{\cos }^{2}}y \right)-{{\sin }^{2}}y}{{{\sin}^{2}}x{{\sin }^{2}}y} \\ & =\frac{{{\cos }^{2}}x{{\sin }^{2}}y-{{\sin }^{2}}y}{{{\sin}^{2}}x{{\sin }^{2}}y}=\frac{{{\sin }^{2}}y\left( {{\cos }^{2}}x- 1 \right)}{{{\sin }^{2}}x{{\sin }^{2}}y}=\frac{-{{\sin}^{2}}x}{{{\sin }^{2}}x}=-1 \\ \end{align}\)