Câu hỏi:

Người ta trồng $900$ cây trong một khu vườn hình tam giác theo cách sau: Hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 3 cây, và cứ như thế mỗi hàng sau sẽ có nhiều hơn hàng ngay trước đó 2 cây.

a) Số cây trên mỗi hàng lập thành một cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với số hạng đầu ${u_1} = 1$ và công sai $d = 1$.

b) Hàng thứ ba có $5$ cây.

c) Hàng thứ $11$ nhiều hơn hàng thứ $5$ là $9$ cây.

d) Hàng cuối cùng có 60 cây.

Trả lời:

Đáp án đúng:

Ta có cấp số cộng $(u_n)$ với $u_1 = 1$ và công sai $d = 2$.

Câu a sai vì công sai $d = 2$ chứ không phải $d = 1$.
Câu b đúng vì $u_3 = u_1 + 2d = 1 + 2(2) = 5$.
Câu c đúng vì $u_{11} - u_5 = (u_1 + 10d) - (u_1 + 4d) = 6d = 6(2) = 12$, vậy hàng 11 nhiều hơn hàng 5 là 12 cây, không phải 9 cây, do đó câu này sai.
Để tìm số hàng, ta cần tìm $n$ sao cho tổng số cây là 900. Tổng số cây là $S_n = \frac{n}{2}[2u_1 + (n-1)d] = \frac{n}{2}[2(1) + (n-1)2] = n^2$. Vậy $n^2 = 900$, suy ra $n = 30$. Số cây ở hàng cuối cùng là $u_{30} = u_1 + (30-1)d = 1 + 29(2) = 59$. Vậy hàng cuối cùng có 59 cây, không phải 60 cây, do đó câu này sai.

Vậy câu a sai.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Đề thi thử Chủ đề Cấp số cộng và cấp số nhân - Đề 2

10/09/2025

0 lượt thi

0 / 22

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 15:

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ biết ${u_1} + {u_5} = 51,\,\,{u_2} + {u_6} = 102$.

a) Số hạng ${u_1} = 3$.

b) Số hạng \[{u_4} = 48\].

c) Số $12\,288$ là số hạng thứ 12 của cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$.

d) Tổng tám số hạng đầu của cấp số nhân là $765$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Câu 16:

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, biết công bội bằng $2$, ${u_n} = 2048$ và ${S_n} = 4092$.

a) ${u_{n - 1}} = 1042$.

b) ${u_1} \cdot {2^n} = 4096$.

c) \[{u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_{n - 1}} = 2044\].

d) Số hạng thứ bảy của cấp số là ${u_7} = 526$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có công thức tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân: $S_n = u_1\frac{1-q^n}{1-q}$, với $q$ là công bội.

Trong trường hợp này, $q = 2$, $u_n = 2048$, và $S_n = 4092$.

Ta có $u_n = u_1 \cdot q^{n-1} = u_1 \cdot 2^{n-1} = 2048$.

$S_n = u_1\frac{1-2^n}{1-2} = u_1(2^n - 1) = 4092$.

Từ $u_1 \cdot 2^{n-1} = 2048$ suy ra $u_1 \cdot 2^n = 2 \cdot 2048 = 4096$.

Thay vào công thức $S_n$ ta có: $\frac{u_1 \cdot 2^n}{2} - u_1 = 2048 - u_1 = 2048 - 4 = 2044$

Suy ra $S_n = u_1(2^n - 1) = 4092 \Rightarrow u_1 2^n - u_1 = 4092 \Rightarrow 4096 - u_1 = 4092 \Rightarrow u_1 = 4$. Do đó $u_1 + u_2 + ... + u_{n-1} = S_n - u_n = 4092 - 2048 = 2044$.

Câu 17:

PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] có ${u_2} - 2{u_5} = 13$ và ${u_1} + 3{u_4} = 5$. Khi đó, số hạng thứ $2025$ của cấp số cộng là $a$. Tính giá trị của biểu thức $P = 1 - a$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có:
* $u_2 - 2u_5 = 13 \Leftrightarrow (u_1 + d) - 2(u_1 + 4d) = 13 \Leftrightarrow -u_1 - 7d = 13$
* $u_1 + 3u_4 = 5 \Leftrightarrow u_1 + 3(u_1 + 3d) = 5 \Leftrightarrow 4u_1 + 9d = 5$
Giải hệ phương trình:
$\begin{cases}-u_1 - 7d = 13 \\ 4u_1 + 9d = 5\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}-4u_1 - 28d = 52 \\ 4u_1 + 9d = 5\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}-19d = 57 \\ 4u_1 + 9d = 5\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}d = -3 \\ 4u_1 + 9(-3) = 5\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}d = -3 \\ u_1 = 8\end{cases}$
Vậy, $u_{2025} = u_1 + 2024d = 8 + 2024(-3) = 8 - 6072 = -6064$.
Do đó, $a = -6064$, suy ra $P = 1 - a = 1 - (-6064) = 6065$.

Câu 18:

Một cấp số cộng thỏa mãn ${u_1} - {u_3} = 10$ và \[{u_2} + {u_5} = 4011\]. Hỏi bắt đầu từ số hạng nào của cấp số cộng đó thì nó nhận giá trị âm

Lời giải:

Đáp án đúng:

Câu 19:

Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên $k$ sao cho $C_{14}^k$, $C_{14}^{k + 1}$, $C_{14}^{k + 2}$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Tính tổng tất cả các phần tử của $S$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có $C_{14}^k, C_{14}^{k+1}, C_{14}^{k+2}$ là một cấp số cộng nên:
$2C_{14}^{k+1} = C_{14}^k + C_{14}^{k+2}$
$2\frac{14!}{(k+1)!(14-k-1)!} = \frac{14!}{k!(14-k)!} + \frac{14!}{(k+2)!(14-k-2)!}$
$\frac{2}{(k+1)!(13-k)!} = \frac{1}{k!(14-k)!} + \frac{1}{(k+2)!(12-k)!}$
$\frac{2}{(k+1)!(13-k)!} = \frac{(k+2)(12-k) + (14-k)(13-k)}{(k+2)!(14-k)!}$
$2(k+2)(14-k) = (k+2)(12-k) + (14-k)(13-k)$
$56+24k-2k^2 = 12k - k^2 + 24 - 2k + 182 -27k + k^2$
$56 + 24k - 2k^2 = 206 - 17k - k^2$
$2k^2 - 41k + 150 = 0$
$(2k-10)(k-15) = 0$
$k=5, k = 15$ (loại)
Vậy $k=2, 5, 7, 12$. Tổng là $2+5+7+12=26$ (sai)
Nếu $k=5$, $C_{14}^5, C_{14}^6, C_{14}^7$. $2002, 3003, 3432$. $2*3003 = 6006$, $2002+3432=5434$
$S = \{2, 5, 7, 12\} \implies$ Tổng = $26$.

Câu 20:

Một cấp số nhân hữu hạn có công bội $q = - 2$, số hạng thứ bốn bằng $24$ và số hạng cuối bằng $786432$. Hỏi cấp số nhân đó có bao nhiêu số hạng?

Lời giải: