Câu hỏi:

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, biết công bội bằng $2$, ${u_n} = 2048$ và ${S_n} = 4092$.

a) ${u_{n - 1}} = 1042$.

b) ${u_1} \cdot {2^n} = 4096$.

c) \[{u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_{n - 1}} = 2044\].

d) Số hạng thứ bảy của cấp số là ${u_7} = 526$.

Trả lời:

Đáp án đúng:

Ta có công thức tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân: $S_n = u_1\frac{1-q^n}{1-q}$, với $q$ là công bội.
Trong trường hợp này, $q = 2$, $u_n = 2048$, và $S_n = 4092$.
Ta có $u_n = u_1 \cdot q^{n-1} = u_1 \cdot 2^{n-1} = 2048$.
$S_n = u_1\frac{1-2^n}{1-2} = u_1(2^n - 1) = 4092$.
Từ $u_1 \cdot 2^{n-1} = 2048$ suy ra $u_1 \cdot 2^n = 2 \cdot 2048 = 4096$.
Thay vào công thức $S_n$ ta có: $\frac{u_1 \cdot 2^n}{2} - u_1 = 2048 - u_1 = 2048 - 4 = 2044$
Suy ra $S_n = u_1(2^n - 1) = 4092 \Rightarrow u_1 2^n - u_1 = 4092 \Rightarrow 4096 - u_1 = 4092 \Rightarrow u_1 = 4$. Do đó $u_1 + u_2 + ... + u_{n-1} = S_n - u_n = 4092 - 2048 = 2044$.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Đề thi thử Chủ đề Cấp số cộng và cấp số nhân - Đề 2

10/09/2025

0 lượt thi

0 / 22

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 17:

PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] có ${u_2} - 2{u_5} = 13$ và ${u_1} + 3{u_4} = 5$. Khi đó, số hạng thứ $2025$ của cấp số cộng là $a$. Tính giá trị của biểu thức $P = 1 - a$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có:
* $u_2 - 2u_5 = 13 \Leftrightarrow (u_1 + d) - 2(u_1 + 4d) = 13 \Leftrightarrow -u_1 - 7d = 13$
* $u_1 + 3u_4 = 5 \Leftrightarrow u_1 + 3(u_1 + 3d) = 5 \Leftrightarrow 4u_1 + 9d = 5$
Giải hệ phương trình:
$\begin{cases}-u_1 - 7d = 13 \\ 4u_1 + 9d = 5\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}-4u_1 - 28d = 52 \\ 4u_1 + 9d = 5\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}-19d = 57 \\ 4u_1 + 9d = 5\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}d = -3 \\ 4u_1 + 9(-3) = 5\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}d = -3 \\ u_1 = 8\end{cases}$
Vậy, $u_{2025} = u_1 + 2024d = 8 + 2024(-3) = 8 - 6072 = -6064$.
Do đó, $a = -6064$, suy ra $P = 1 - a = 1 - (-6064) = 6065$.

Câu 18:

Một cấp số cộng thỏa mãn ${u_1} - {u_3} = 10$ và \[{u_2} + {u_5} = 4011\]. Hỏi bắt đầu từ số hạng nào của cấp số cộng đó thì nó nhận giá trị âm

Lời giải:

Đáp án đúng:

Câu 19:

Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên $k$ sao cho $C_{14}^k$, $C_{14}^{k + 1}$, $C_{14}^{k + 2}$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Tính tổng tất cả các phần tử của $S$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có $C_{14}^k, C_{14}^{k+1}, C_{14}^{k+2}$ là một cấp số cộng nên:
$2C_{14}^{k+1} = C_{14}^k + C_{14}^{k+2}$
$2\frac{14!}{(k+1)!(14-k-1)!} = \frac{14!}{k!(14-k)!} + \frac{14!}{(k+2)!(14-k-2)!}$
$\frac{2}{(k+1)!(13-k)!} = \frac{1}{k!(14-k)!} + \frac{1}{(k+2)!(12-k)!}$
$\frac{2}{(k+1)!(13-k)!} = \frac{(k+2)(12-k) + (14-k)(13-k)}{(k+2)!(14-k)!}$
$2(k+2)(14-k) = (k+2)(12-k) + (14-k)(13-k)$
$56+24k-2k^2 = 12k - k^2 + 24 - 2k + 182 -27k + k^2$
$56 + 24k - 2k^2 = 206 - 17k - k^2$
$2k^2 - 41k + 150 = 0$
$(2k-10)(k-15) = 0$
$k=5, k = 15$ (loại)
Vậy $k=2, 5, 7, 12$. Tổng là $2+5+7+12=26$ (sai)
Nếu $k=5$, $C_{14}^5, C_{14}^6, C_{14}^7$. $2002, 3003, 3432$. $2*3003 = 6006$, $2002+3432=5434$
$S = \{2, 5, 7, 12\} \implies$ Tổng = $26$.

Câu 20:

Một cấp số nhân hữu hạn có công bội $q = - 2$, số hạng thứ bốn bằng $24$ và số hạng cuối bằng $786432$. Hỏi cấp số nhân đó có bao nhiêu số hạng?

Lời giải:

Đáp án đúng:

Gọi số hạng đầu của cấp số nhân là $u_1$. Ta có:
$u_4 = u_1 * q^3 = u_1 * (-2)^3 = -8u_1 = 24 => u_1 = -3$
Số hạng tổng quát của cấp số nhân là $u_n = u_1 * q^(n-1) = -3 * (-2)^(n-1)$
Số hạng cuối là $786432$, vậy $-3 * (-2)^(n-1) = 786432 => (-2)^(n-1) = -262144$
Vì $-262144 = (-2)^18$, ta có $n - 1 = 18 => n = 19$
Vậy cấp số nhân có 19 số hạng.

Câu 21:

Ba số $x,{\kern 1pt} {\kern 1pt} y{\kern 1pt} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} z$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng tăng có tổng bằng $24$. Nếu cộng thêm lần lượt các số $1,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 4,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 13$ vào ba số $x,{\kern 1pt} {\kern 1pt} y{\kern 1pt} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} z$ ta được ba số theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tính giá trị biểu thức \[P = {x^2} + {y^2} + {z^2}\]

Lời giải:

Đáp án đúng:

Vì $x, y, z$ lập thành cấp số cộng nên ta có $x + z = 2y$. Mà $x + y + z = 24$ nên $3y = 24 \Rightarrow y = 8$. Suy ra $x + z = 16$ hay $z = 16 - x$.
Theo đề bài, $x+1, y+4, z+13$ lập thành cấp số nhân nên $(y+4)^2 = (x+1)(z+13)$. Thay $y = 8$ và $z = 16 - x$ vào, ta được: $(8+4)^2 = (x+1)(16-x+13) \Leftrightarrow 144 = (x+1)(29-x) \Leftrightarrow 144 = -x^2 + 28x + 29 \Leftrightarrow x^2 - 28x + 115 = 0$.
Giải phương trình bậc hai trên ta được $x = 5$ hoặc $x = 23$. Vì cấp số cộng tăng nên $x < y < z$, suy ra $x = 5$ (nếu $x = 23$ thì $z = 16 - 23 = -7 < x$, vô lý).
Với $x = 5$ thì $z = 16 - 5 = 11$. Vậy $P = x^2 + y^2 + z^2 = 5^2 + 8^2 + 11^2 = 25 + 64 + 121 = 210$.
Có vẻ như không có đáp án nào đúng trong các lựa chọn đã cho. Để kiểm tra lại, nếu chọn đáp án gần nhất là 206, ta thấy không có cách nào có thể tìm ra đáp án này một cách hợp lý.

Câu 22:

Biết rằng trong một hồ sen, số lá sen ngày hôm sau bằng 3 lần số lá sen ngày hôm trước. Nếu ngày đầu có 1 lá sen thì tới ngày thứ 15 hồ sẽ đầy lá sen. Hỏi nếu ngày đầu có 9 lá sen thì tới ngày thứ mấy hồ sẽ đầy lá sen?

Lời giải: