Câu hỏi:

a) Tọa độ điểm \(A\) chính là tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{OA}\) nên \(\overrightarrow{OA}=(1;2)\).

b) Vì \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) nên:

\(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{M}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2}=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2} \\  & {{y}_{M}}=\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2}=\frac{1+3}{2}=2 \\ \end{align} \right.\)\(\Rightarrow \)\(M\left( \frac{3}{2};2 \right)\).

c) Do \(G\)là trọng tâm tam giác \(ABO\) nên:

\(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{G}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{O}}}{3}=\frac{2+1+0}{3}=1 \\  & {{y}_{G}}=\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{O}}}{3}=\frac{1+3+0}{3}=\frac{4}{3} \\ \end{align} \right.\)\(\Rightarrow \)\(G\left( 1;\frac{4}{3} \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow{GA}=\left( 1;-\frac{1}{3} \right),2\overrightarrow{GB}=\left( 0;\frac{10}{3} \right),3\overrightarrow{GO}=\left( -3;-4 \right)\).

Vậy \(\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}+3\overrightarrow{GO}=\left( -2;-1 \right)\).

d) Ta có \(\overrightarrow{AB}=(-1;2),\overrightarrow{AO}=(-2;-1)\)

nên \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AO}=(-1).(-2)+2.(-1)=0\).

Suy ra \(AB\bot AO\) hay tam giác\(ABO\) vuông tại\(A\).

Khi đó \(I\) là trung điểm cạnh \(BO\).

Do \(I\) là trung điểm cạnh \(BO\) nên:

\(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{I}}=\frac{{{x}_{B}}+{{x}_{O}}}{2}=\frac{1+0}{2}=\frac{1}{2} \\  & {{y}_{I}}=\frac{{{y}_{B}}+{{y}_{O}}}{2}=\frac{3+0}{2}=\frac{3}{2} \\ \end{align} \right.\)\(\Rightarrow \)\(I\left( \frac{1}{2};\frac{3}{2} \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow{IA}=\left( \frac{3}{2};-\frac{1}{2} \right)\) nên phương trình tham số của đường thẳng \(AI\) là \(\left\{ \begin{align}  & x=2+3t \\  & y=1-t \\ \end{align} \right.\) (\(t\) là tham số).

Do đó phương trình tổng quát của đường thẳng \(AI\) là: \(x+3y-5=0\).

Để chọn ra một đội tình nguyện viên gồm \(3\) học sinh sao cho có đúng \(1\) nam, ta thực hiện \(2\) bước:

Bước 1: Chọn \(1\) nam: Có \(C_{21}^{1}\) cách.

Bước 2: Chọn \(2\) nữ: Có \(C_{18}^{2}\) cách.

Suy ra có \(C_{21}^{1}.C_{18}^{2}=3213\) cách để chọn ra một đội tình nguyện viên gồm \(3\) học sinh sao cho có đúng \(1\) nam.

Số được lập có dạng \(\overline{abcd}<6256\) trong đó \(a,b,c,d\in \left\{ 1,2,3,5,6,9 \right\}\) và đôi một khác nhau.

Trường hợp 1: \(a\in \left\{ 1,2,3,5 \right\}\) thì \(\overline{bcd}\) có \(A_{5}^{3}\) cách chọn nên có \(4.A_{5}^{3}=240\) số.

Trường hợp 2: \(a=6,b=1\Rightarrow \overline{cd}\) có \(A_{4}^{2}\) cách chọn nên có \(A_{4}^{2}=12\) số.

Trường hợp 3: \(a=6,b=2,c=5\Rightarrow d\in \left\{ 1,3 \right\}\) nên có 2 số.

Trường hợp 4: \(a=6,b=2,c\in \left\{ 1,3 \right\}\Rightarrow d\) có 3 cách chọn nêm có \(2.3=6\) số.

Theo quy tắc cộng có \(240+12+2+6=260\) số.

Ta có:

\(\begin{align}  {{a}_{0}}+{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{4}}+{{a}_{5}}&={{a}_{0}}+{{a}_{1}}.1+{{a}_{2}}{{.1}^{2}}+{{a}_{3}}{{.1}^{3}}+{{a}_{4}}{{.1}^{4}}+{{a}_{5}}{{.1}^{5}} \\  & ={{\left( \frac{8}{5}.1-\frac{1}{2} \right)}^{5}}=1,61051. \\ \end{align}\)

Suy ra:

\({{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{4}}+{{a}_{5}}=1,61051-{{a}_{0}}=1,61051-{{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{5}}=1,64176.\)

Vậy: \({{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{4}}+{{a}_{5}}=1,64.\)

Ta có: \(\overrightarrow{AB}=(4;2)\). Lấy \(E\) là trung điểm \(AB\) ta được \(E(-1;2)\). Đường trung trực \(d\) của cạnh \(AB\) có phương trình là: \(2x+y=0\).

Đường thẳng \(CD\) đi qua \(C\) và song song với \(AB\) có phương trình là: \(x-2y-5=0\).

Giao điểm \(F\) của hai đường thẳng \(CD\) và \(d\) có toạ độ là \((1;-2)\).

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình thang cân với hai đáy \(AB,CD\) nên \(D\) là điểm đối xứng với \(C\) qua \(d\), do đó \(\vec{F}\) là trung điểm của đoạn \(CD\).

Suy ra \(D(-5;-5)\).

Nhận thấy, \(\overrightarrow{DC}=(12;6)\), \(\overrightarrow{AB}=(4;2)\) cùng hướng nên \(D(-5;-5)\) thoả mãn bài toán.

Vậy \(a+b=-10\).