Câu hỏi:

a) Gọi \(M\left( {{x}_{M}};{{y}_{M}} \right)\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\).

\(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{M}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2}=\frac{1+\left( -2 \right)}{2}=-\frac{1}{2} \\  & {{y}_{M}}=\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2}=\frac{2+0}{2}=1 \\ \end{align} \right.\Rightarrow M\left( -\frac{1}{2};1 \right)\).

b)  \(\overrightarrow{BC}=\left( 1;3 \right)\).

c) \(\left\{ \begin{align}  & \overrightarrow{BC}=\left( 1;3 \right) \\  & \overrightarrow{AB}=\left( -3;-2 \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=-3.1+\left( -2 \right).3=-9\).

d) \(\overrightarrow{AB}=(-3;-2)\Rightarrow AB=\sqrt{13}\);

\(\overrightarrow{BC}=(1;3)\Rightarrow BC=\sqrt{10}\);

\(\overrightarrow{AC}=(-2;1)\Rightarrow AC=\sqrt{5}\).

\(\begin{align}  & p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{\sqrt{13}+\sqrt{10}+\sqrt{5}}{2}. \\  & {{S}_{\Delta ABC}}=\sqrt{p.\left( p-AB \right)\left( p-BC \right)\left( p-AC \right)}=\frac{7}{2}. \\ \end{align}\)

Xét khai triển \({{(a+b)}^{6}}=\sum\limits_{k=0}^{6}{C_{6}^{k}}{{a}^{6-k}}{{b}^{k}}\).

Ta chọn \(a=b=1\), thu được \({{(1+1)}^{6}}=C_{6}^{0}+C_{6}^{1}+\ldots +C_{6}^{6}\).

Do đó \(S={{2}^{6}}-C_{6}^{0}-C_{6}^{6}=62\).

Vậy \(S=62\).

Phương trình đường thẳng \(AB\) là: \(\frac{x-2}{-1}=\frac{y-2}{3}\Leftrightarrow 3x+y-8=0\).

\(C\)\(\in d:2x-y-8=0\)\(\Rightarrow C(t;2t-8)\).

Ta có: \(AB=\sqrt{{{(1-2)}^{2}}+{{(5-2)}^{2}}}=\sqrt{10}\).

Do \({{S}_{\Delta ABC}}=2\) suy ra \(d(C,AB)=\frac{4}{\sqrt{10}}\).

Khi đó \(\frac{|3t+(2t-8)-8|}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\frac{4}{\sqrt{10}}\).

\(\begin{align}  & \Leftrightarrow |5t-16|=4 \\  & \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   t=4  \\   t=\frac{12}{5}  \\\end{matrix} \right. \\ \end{align}\)

Với \(t=4\) thì \(2t-8=0\) (loại vì \(C\) có tung độ âm).

Với \(t=\frac{12}{5}\) thì \(2t-8=\frac{-16}{5}\)(nhận).

Vậy \(C\left( \frac{12}{5};\frac{-16}{5} \right)\). Khi đó \(a+b=\frac{12}{5}-\frac{16}{5}=-0,8\).

Số thỏa đề bài có dạng \(\overline{abc}\,;\ a,b,c\in \left\{ 2;3;4;5;6;7 \right\}\).

Chọn a có 6 cách.

Vì các chữ số đôi một khác nhau nên có 5 cách chọn b và 4 cách chọn c.

Theo quy tắc nhân, số các số có thể lập được là: \(6.5.4=120\) số.

Để lập một mật khẩu chương trình máy tính, ta cần thực hiện ba công đoạn liên tiếp:

\(\bullet \) Chọn kí tự thứ nhất từ tập \(26\) chữ từ A đến Z: có \(26\) cách chọn.

\(\bullet \) Chọn kí tự thứ hai là chữ số: có \(10\) cách chọn.

\(\bullet \) Chọn kí tự thứ ba là chữ số: có \(10\) cách chọn.

Do đó, theo quy tắc nhân thì số cách tạo mật khẩu mới là: \(26.10.10=2\,600\) (mật khẩu).