Câu hỏi:

Tìm phương trình vận tốc và phương trình quãng đường ứng dụng nguyên hàm.

Lời giải chi tiết:

Phương trình vận tốc: \(v(t) = \int a(t)dt = \int (v_0t+t^2)dt = v_0 \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} + C\).

Tại thời điểm \(t = 0\): \(v(0) = v_0 \Rightarrow v_0 = v_0 \frac{0^2}{2} + \frac{0^3}{3} + C \Rightarrow C = v_0\).

Quãng đường vật đi được trong 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là:

\(S = \int_0^3 v(t)dt = \int_0^3 (v_0\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}+v_0)dt = v_0 \frac{3^3}{6} + \frac{3^4}{12} + v_0.3 = \frac{15}{2}v_0 + \frac{27}{4}\) (m).

Theo đề bài, quãng đường vật đi được trong 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là 100 m nên:

\(\frac{15}{2}v_0 + \frac{27}{4} = 100 \Rightarrow v_0 \approx 12,4\) (m/s).

Phương pháp giải:

Giả sử \(\alpha\) là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Đường thẳng d có vecto chỉ phương là \(\vec{u}\) và mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là \(\vec{n}\).

Khi đó \(\sin \alpha = \frac{|\vec{u}.\vec{n}|}{|\vec{u}|.|\vec{n}|}\).

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là \(\vec{AB} = (5;10;-3)\), mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến là \(\vec{n} = (0;0;1)\).

Ta có: \(\sin \alpha = \frac{|5.0+10.0-3.1|}{\sqrt{5^2+10^2+(-3)^2}.\sqrt{0^2+0^2+1^2}} = \frac{3}{\sqrt{134}} \Rightarrow \alpha \approx 15^\circ\).

Phương pháp giải:

Lập phương trình tham số của đường cáp, từ đó suy ra tọa độ điểm B theo tham số.

Tính quãng đường AB (dựa vào vận tốc, thời gian di chuyển) rồi tìm t.

Thay t, ta được tọa độ điểm B.

Lời giải chi tiết:

Phương trình đường cáp là: \(\left\{\begin{array}{l}x=10+2 t \\ y=3-2 t \quad(t \in \mathbb{R}) . \\ z=t\end{array}\right.\)

Điểm B thuộc đường cáp nên \(\mathrm{B}(10+2 \mathrm{t} ; 3-2 \mathrm{t}\); t\()\).

Cabin đi với tốc độ \(4,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\). Sau 180 giây, cabin đi được quãng dường \(4,5.180=810(\mathrm{~m})\).

Khi đó, cabin dừng ở điềm B nên ta có \(\mathrm{AB}=810\)

\(\Leftrightarrow(10+2 t-10)^2+(3-2 t-3)^2+(t-0)^2=810^2\)

\(\Leftrightarrow 4 t^2+4 t^2+t^2=810^2 \Leftrightarrow 9 t^2=810^2 \Leftrightarrow t=270\).

Suy ra \(\mathrm{B}(550 ;-537 ; 270)\). Vậy tung độ điềm B là -537 .

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính xác suất toàn phần và công thức Bayes.

Lời giải chi tiết:

Gọi các biến cố:

A: “Vận động viên được chọn thuộc đội I”.

Suy ra \(\overline{A}\): “Vận động viên được chọn thuộc đội II”.

B: “Vận động viên được chọn đạt huy chương vàng”.

Đội I có 5 vận động viên, đội II có 7 vận động viên (tổng hai đội là 12 vận động viên) nên ta có \(P(A)=\frac{5}{12}\); \(P(\overline{A})=\frac{7}{12}\).

Xác suất vận động viên thuộc đội I đạt huy chương vàng là 0,65 nên có \(P(B|A) = 0,65\).

Xác suất vận động viên thuộc đội II đạt huy chương vàng là 0,55 nên ta có \(P(B|\overline{A}) = 0,55\).

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, xác suất vận động viên được chọn đạt huy chương vàng là:

\(P(B) = P(A).P(B|A)+P(\overline{A}).P(B|\overline{A}) = \frac{5}{12}.0,65+\frac{7}{12}.0,55 = \frac{71}{120}\).

Áp dụng công thức Bayes, xác suất vận động viên đạt huy chương vàng thuộc đội I là:

\(P(A|B) = \frac{P(A).P(B|A)}{P(B)} = \frac{\frac{5}{12}.0,65}{\frac{71}{120}} = \frac{65}{142} \approx 0,46\).

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lũy thừa \(\int \mathrm{x}^\alpha \mathrm{dx}=\frac{\mathrm{x}^{\alpha+1}}{\alpha+1}+\mathrm{C}\).

Lời giải chi tiết:

\(\int(2 x+6) d x=2 \cdot \frac{x^2}{2}+6 x+C=x^2+6 x+C\)