Câu hỏi:

Để bất phương trình \(\left( m+1 \right)x+\left( {{m}^{2}}+m \right)y-1>0\) là bậc nhất hai ẩn thì:

\({{\left( m+1 \right)}^{2}}+{{\left( {{m}^{2}}+m \right)}^{2}}>0\)\(\Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}\left( 1+{{m}^{2}} \right)>0\)\(\Leftrightarrow m\ne -1\).

Điểm \(M\left( 1;2 \right)\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình \(\left( m+1 \right)x+\left( {{m}^{2}}+m \right)y-1>0\) nên tọa độ điểm \(M\left( 1;2 \right)\) thỏa mãn bất phương trình.

Từ đó ta có

\(m+1+2\left( {{m}^{2}}+m \right)-1>0\)\(\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}+3m>0\)\(\Leftrightarrow m\left( 2m+3 \right)>0\) (*).

\((*)\left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} m > 0\\ 2m + 3 > 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} m < 0\\ 2m + 3 < 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} m > 0\\ m > - \frac{3}{2} \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} m < 0\\ m < - \frac{3}{2} \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m > 0\\ m < - \frac{3}{2} \end{array} \right.\)

Kết hợp với điều kiện \(m\ne -1\) ta được \(m\in \left( -\infty ;-\frac{3}{2} \right)\cup \left( 0;+\infty \right)\).

Với hai tập khác rỗng \(A\), \(B\) ta có điều kiện:

\(\left\{ \begin{align} m-1<4 \\ 2m+2>-2 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} m<5 \\ m>-2 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow -2<m<5\).

Để \(A\cap B\ne \varnothing \Leftrightarrow m-1<2m+2\)\(\Leftrightarrow m>-3\).

So với kết quả của điều kiện thì \(-2<m<5\).

Gọi \(F,\,I,\,T\) lần lượt là tập hợp học sinh sử dụng Facebook, Instagram, Twitter.

Theo giả thiết ta có:

\(n\left( F \right)=28\); \(n\left( I \right)=29\); \(n\left( T \right)=19\);

\(n\left( F\cap I \right)=14\); \(n\left( F\cap T \right)=12\); \(n\left( I\cap T \right)=10\),

\(n\left( F\cap I\cap T \right)=8\).

Ta có:

\(\begin{align} n\left( F\cup I\cup T \right)=n\left( F \right)+n\left( I \right)+n\left( T \right)-n\left( F\cap I \right)-n\left( I\cap T \right)-n\left( F\cap T \right) +n\left( F\cap I\cap T \right) \\ \end{align}\)

hay \(n\left( F\cup I\cup T \right)=28+29+19-14-12-10+8=48\).

Vậy có \(48\) học sinh tham gia khảo sát.

Giá trị lượng giác của góc đặc biệt: \(\text{sin}{{120}^{\circ }}+\text{cos}{{30}^{\circ }}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\ne 0\).

Vì \(\text{si}{{\text{n}}^{2}}\alpha +\text{co}{{\text{s}}^{2}}\alpha =1\Rightarrow \text{co}{{\text{s}}^{2}}\alpha =1-\text{si}{{\text{n}}^{2}}\alpha \)\(=1-{{(\frac{3}{5})}^{2}}=\frac{16}{25}\).

Mà \({{90}^{\circ }}<\alpha <{{180}^{\circ }}\) nên \(\text{cos}\alpha <0\).

Do đó \(\text{cos}\alpha =-\sqrt{\frac{16}{25}}=-\frac{4}{5};\)

\(\text{tan}\alpha =\frac{\text{sin}\alpha }{\text{cos}\alpha }=-\frac{3}{4}\).