Câu hỏi:

Số điểm cực trị là số lần $f'(x)$ đổi dấu.

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy $f'(x)$ đổi dấu 5 lần.

Vậy hàm số có 5 điểm cực trị.

Ta có $y^{\prime}=6 x^2+6 x$

$\begin{aligned}

& \Rightarrow y^{\prime}=0 \Leftrightarrow 6 x^2+6 x=0 \\

& \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}

x=0 \\

x=-1

\end{array} .\right. \\

& y(0)=-1, y(-1)=0, y(1)=4, y(-2)=-5 .

\end{aligned}$

Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là 4 và -5 .

a) Sai.

Ta có: $f(x) = 4 \sin x \cos x + 2x = 2 \sin 2x + 2x$.

$\Rightarrow f'(x) = 4 \cos 2x + 2$.

b) Đúng.

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = -\frac{1}{2}$.

$\Leftrightarrow \begin{cases} 2x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi \\ 2x = -\frac{2\pi}{3} + k2\pi \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{\pi}{3} + k\pi \\ x = -\frac{\pi}{3} + k\pi \end{cases}, k \in \mathbb{Z}$.

Trên $[-\pi;\pi]$, $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x \in \left\{ \frac{\pi}{3}; -\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}; -\frac{2\pi}{3} \right\}$.

Vẽ bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$ trên đoạn $[-\pi;\pi]$.

c) Đúng.

Nhận thấy $(-2;-1) \subset \left( -\frac{2\pi}{3}; \frac{\pi}{3} \right)$ nên từ BBT trên ta có hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-2;-1)$.

d) Đúng.

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = -\frac{1}{2} \Leftrightarrow \begin{cases} 2x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi \\ 2x = -\frac{2\pi}{3} + k2\pi \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{\pi}{3} + k\pi \\ x = -\frac{\pi}{3} + k\pi \end{cases}, k \in \mathbb{Z}$.

Trên $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$, $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{3}$.

Ta có $f(0) = 0; f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \pi; f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{2\pi}{3} + \sqrt{3}$.

Do đó, giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên đoạn $\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]$ là $\frac{2 \pi}{3}+\sqrt{3}$ đạt được khi $x=\frac{\pi}{3}$.

Phương án 1:

$y = f(x) = \frac{x^2 + 2x + 1}{x + 3}$

$= \frac{x^2 + 3x - x - 3 + 4}{x + 3}$

$= \frac{(x + 3)(x - 1) + 4}{x + 3}$

$= x - 1 + \frac{4}{x + 3}.$

Phương án 2:

$\lim_{x \to -\infty} y = -\infty$ và $\lim_{x \to +\infty} y = +\infty$

Nên đồ thị $(C)$ không có tiệm cận ngang

Phương án 3:

$\lim_{x \to -3^+} y = +\infty$; $\lim_{x \to -3^-} y = -\infty$

Suy ra đồ thị $(C)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = -3.$

Phương án 4:


$\lim_{x \to -\infty} [f(x) - (x - 1)] = \lim_{x \to -\infty} \frac{4}{x + 3} = 0$


và $\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (x - 1)] = \lim_{x \to +\infty} \frac{4}{x + 3} = 0$


Suy ra đồ thị $(C)$ có tiệm cận xiên là đường thẳng $y = x - 1$. Khi đó $a^2 + b^2 = 2$.

a) ĐÚNG.

$y' = \frac{(2x + 2)(x + 1) - (x^2 + 2x + 5)}{(x + 1)^2}$

$= \frac{x^2 + 2x - 3}{(x + 1)^2}$

b) SAI.

$y' = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x = 1 \\ x = -3 \end{cases}$

Suy ra đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $A(1; 4)$; $B(-3; -4)$.

Gọi phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng $y = ax + b$.

Khi đó ta có hệ phương trình:

$\begin{cases} a + b = 4 \\ -3a + b = -4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 2 \\ b = 2 \end{cases}$

Phương trình đường thẳng $AB$ là $y = 2x + 2$.

c) ĐÚNG.

$y = x + 1 + \frac{4}{x + 1}$

$\lim_{x \to \pm\infty} (y - (x + 1)) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{4}{x + 1} = 0.$

$\Rightarrow y = x + 1$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

d) ĐÚNG.

Đồ thị của hàm số có hình vẽ như sau: