Câu hỏi:

a) \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\) (vì \(AB\bot AC\)).

b) Ta có \(\text{cos}\left( \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC} \right)=\text{cos}\widehat{ABC}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}\).

Do đó \((\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})={{60}^{{}^\circ }}\).

c) Ta có \(\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA}\)\(=-\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CA}\)\(=-\left| \overrightarrow{CB}. \right|\left| \overrightarrow{CA} \right|\text{cos}\left( \overrightarrow{CB},\overrightarrow{CA} \right)\).

Theo định lí Pythagore ta có \(CA=\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{3}\).

\(\left( \overrightarrow{CB},\overrightarrow{CA} \right)=\widehat{ACB}={{90}^{\circ }}-{{60}^{\circ }}={{30}^{\circ }}\).

Suy ra \(\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA}=-a\sqrt{3}.2a.\text{cos}{{30}^{\circ }}=-3{{a}^{2}}\).

d) Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên

\(\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{AB}=0\) và từ câu a ta có

\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=-{{a}^{2}},\)

\(\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA}=-3{{a}^{2}}\)

Suy ra \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{AB}=-4{{a}^{2}}\).

Nửa số liệu bên trái là \(7,\,\,\,8,\,\,\,11,\,\,\,13\) gồm \(4\) giá trị, hai phần tử chính giữa là \(8\), \(11\).

Do đó, \({{Q}_{1}}=\left( 8+11 \right)\,:\,2=9,5\).

Nửa số liệu bên phải là \(18,\,\,\,19,\,\,\,20,\,\,\,22\) gồm \(4\) giá tri, hai phần tử chính giữa là \(19\), \(20\).

Do đó, \({{Q}_{3}}=\left( 19+20 \right)\,:\,2=19,5\).

Vậy khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu là \({{\Delta }_{Q}}=19,5-9,5=10\).

Ta có:

\(n\left( T \right)\): là số học sinh giỏi Toán

\(n\left( L \right)\): là số học sinh giỏi Lí

\(n\left( T\cap L \right)\): là số học sinh giỏi cả hai môn Toán và Lí

Khi đó số học sinh của lớp là: \(n\left( T\cup L \right)+6\).

Mà \(n\left( T\cup L \right)=n\left( T \right)+n\left( L \right)-n\left( T\cap L \right)=25+23-14=34\).

Vậy số học sinh của lớp là \(34+6=40\) học sinh.

\(AC\) là đoạn tàu đi được sau khi bẻ sang hướng tây bắc \({{20}^{\circ }}\) nên \(AC=12\) km và

\(\widehat{CAm}={{20}^{\circ }}\).

\(BC\) là khoảng cách từ tàu đến bến cảng.

\(\widehat{CAm}\) và \(\widehat{CAB}\) là hai góc kề bù

Suy ra \(\widehat{CAB}={{180}^{\circ }}-{{20}^{\circ }}={{160}^{\circ }}\).

Áp dụng định lí côsin cho tam giác \(ABC\) ta có:

\(B{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}-2.AC.BC.\text{cos}\widehat{CAB}\)

\(B{{C}^{2}}={{15}^{2}}+{{12}^{2}}-2.12.15.\cos {{20}^{{}^\circ }}\)

\(BC=\sqrt{{{15}^{2}}+{{12}^{2}}-2.12.15.\text{cos}{{20}^{\circ }}}\)

\(BC\approx 26,59\) km.

Vậy khoảng cách từ tàu đến bến cảng khoảng \(27\) km.

Nhận thấy biểu thức \(L=y-x\) chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm \(A,\,B,\,C\).

Lập bảng:

\(\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Đỉnh} & A(-5; -1) & B(-1; -2) & C(5; 4) \\ \hline \text{T} & -17 & -3 & 3 \\ \hline \end{array}\)

Vậy \(T\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(-17\) khi \(x=-5\) và \(y=-1\).

Do đó \({{x}_{0}}=-5\) và \({{y}_{0}}=-1\Rightarrow x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=26\).