Câu hỏi:

\({{\left( 2x-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{6}}=\sum\limits_{k=0}^{6}{C_{6}^{k}{{\left( 2x \right)}^{k}}{{\left( -\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{6 k}}}=\sum\limits_{k=0}^{6}{C_{6}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{k}}{{\left( -1 \right)}^{6-k}}{{x}^{2k-12}}}=\sum\limits_{k=0}^{6}{C_{6}^{k}{{2}^{k}}{{\left( -1 \right)}^{6-k}}{{x}^{3k-12}}}\)

Để tìm số hạng không chứa x ta cho \(3k-12=0\Leftrightarrow k=4.\)

Vậy số hạng không chứa x là \(C_{6}^{4}{{2}^{4}}{{\left( -1 \right)}^{2}}=240.\)

Chọn C.

Gọi E, G, F lần lượt là trung điểm của BD, AD và AC.

Ta có; IE // CD, FG// CD, IF // AB, EG // AB.

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}I \in \left( \alpha  \right) \cap \left( {ABC} \right)\\\left( \alpha  \right)// AB \subset \left( {ABC} \right)\\{\rm{IF}}// {\rm{AB}}\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha  \right) \cap \left( {ABC} \right) = IF\\\left\{ \begin{array}{l}I \in \left( \alpha  \right) \cap \left( {BCD} \right)\\\left( \alpha  \right)// CD \subset \left( {BCD} \right)\\IE// CD\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha  \right) \cap \left( {BCD} \right) = IE\\\left\{ \begin{array}{l}F \in \left( \alpha  \right) \cap \left( {ACD} \right)\\\left( \alpha  \right)// CD \subset \left( {ACD} \right)\\{\rm{FG}}// CD\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha  \right) \cap \left( {ACD} \right) = FG\\\left( \alpha  \right) \cap \left( {ABD} \right) = GE\end{array}\)

Vậy thiết diện của hình chóp khi cắt bởi  là hình bình hành IEGF.

Ta có: \(IE = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}a\,\,;\,\,{\rm{IF = }}\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}a \Rightarrow IE = IF \Rightarrow IEGF\)là hình thoi cạnh \(\frac{a}{2}\).

 Hơn nữa: IF // AB, IE // CD, \(AB\bot CD\Rightarrow IE\bot IF\Rightarrow IEGF\) là hình vuông cạnh \(\frac{a}{2}\).

Vậy \({{S}_{IEGF}}=\frac{{{a}^{2}}}{4}.\)

Chọn C.

\(2\sin x-5=0\Leftrightarrow \sin x=\frac{5}{2}>1\Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm.

Chọn D.

\(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{3} = \pi  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Xét nghiệm \(x =  - \frac{\pi }{{12}} + k\pi  \in \left( { - \pi ;\pi } \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{k \in Z}  - \pi  <  - \frac{\pi }{{12}} + k\pi  < \pi \) \(\mathop \Leftrightarrow \limits^{k \in Z}  - 1 <  - \frac{1}{{12}} + k < 1\mathop  \Leftrightarrow \limits^{k \in Z}  - \frac{{11}}{{12}} < k < \frac{{13}}{{12}}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} \left\{ \begin{array}{l}k = 0\\k = 1\end{array} \right..\)

Khi k = 0 ta có nghiệm \(x=-\frac{\pi }{12}\)

Khi k = 1 ta có nghiệm \(x=-\frac{\pi }{12}+\pi =\frac{11\pi }{12}\)

Xét nghiệm \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi  \in \left( { - \pi ;\pi } \right)\mathop  \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} {\mkern 1mu}  - \pi  < \frac{\pi }{4} + k\pi  < \pi \) \(\mathop  \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} {\mkern 1mu}  - 1 < \frac{1}{4} + k < 1\mathop  \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} {\mkern 1mu}  - \frac{5}{4} < k < \frac{3}{4}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} {\mkern 1mu} \left\{ \begin{array}{l}k =  - 1\\k = 0\end{array} \right..\)

Khi k = -1 ta có nghiệm \(x=\frac{\pi }{4}-\pi =-\frac{3\pi }{4}\)

Khi k = 0 ta có nghiệm \(x=\frac{\pi }{4}\)

Vậy phương trình có 4 nghiệm thuộc \(\left( -\pi ;\pi  \right).\)

Chọn C.  

\(\begin{array}{l}\cos 2x + \sin x = 0 \Leftrightarrow \sin x =  - \cos 2x\\ \Leftrightarrow  - \sin x = \cos 2x \Leftrightarrow \sin \left( { - x} \right) = \cos 2x \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi}{2} + x} \right) = \cos 2x\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{2} + x + k2\pi \\2x =  - \frac{\pi }{2} - x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\3x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x =  - \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

Xét nghiệm \(x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \in \left[ 0;2\pi  \right)\overset{k\in Z}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,0\le \frac{\pi }{2}+k2\pi <2\pi \overset{k\in Z}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,0\le \frac{1}{2}+2k<2\Leftrightarrow -\frac{1}{4}\le k<\frac{3}{4}\overset{k\in Z}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,k=0.\)

Khi k = 0 ta có nghiệm \(x=\frac{\pi }{2}.\)

Xét nghiệm \(x =  - \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3} \in \left[ {0;2\pi } \right)\mathop  \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} 0 \le  - \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3} < 2\pi  \Leftrightarrow 0 \le  - \frac{1}{6} + \frac{{2k}}{3} < 2\mathop  \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} \frac{1}{4} \le k < \frac{{13}}{4}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} \left\{ \begin{array}{l}k = 1\\k = 2\\k = 3\end{array} \right.\)

Khi k = 1 ta có nghiệm \(x=-\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi }{3}=\frac{\pi }{2}\)

Khi k = 2 ta có nghiệm \(x=-\frac{\pi }{6}+\frac{4\pi }{3}=\frac{7\pi }{6}\)

Khi k = 3 ta có nghiệm \(x=-\frac{\pi }{6}+\frac{6\pi }{3}=\frac{11\pi }{6}\)

Vậy nghiệm của phương trình thuộc \(\left[ 0;2\pi  \right)\) là: \(\left\{ \frac{\pi }{2};\frac{7\pi }{6};\frac{11\pi }{6} \right\}\)

 Chọn D