Câu hỏi:

a) Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số nghịch biến trên $(-\infty; -1)$ nên khẳng định này đúng.

b) Hàm số đạt giá trị cực tiểu tại $x=0$, nhưng không phải giá trị nhỏ nhất (hàm số tiến đến $-\infty$ khi $x$ tiến đến $\pm \infty$).

c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số là -15, nên $f(x) \geq -15$ là đúng.

d) Hàm số không có giá trị lớn nhất.

Ta có:

• Mệnh đề a) sai vì hàm số nghịch biến trên $(-1; 0)$ và đồng biến trên $(0; 1)$.
  
  
• Mệnh đề b) đúng vì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = 0$.
  
  
• Mệnh đề c) đúng (nhìn vào đồ thị).
  
  
• Mệnh đề d) sai. Các điểm cực trị của hàm số là $A(-1, 2)$ và $B(1, -2)$. Diện tích tam giác $OAB$ là: $S = \frac{1}{2} |x_A y_B - x_B y_A| = \frac{1}{2} |(-1)(-2) - (1)(2)| = \frac{1}{2} |2 + 2| = 2 \neq \sqrt{5}$.
  

Vậy chỉ có mệnh đề b) và c) đúng.

Gọi $I$ là trung điểm của $AC$, ta có tọa độ điểm $I(\frac{1+1}{2}; \frac{0+3}{2}; \frac{1+2}{2}) = (1; \frac{3}{2}; \frac{3}{2})$.

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. Suy ra $D(x;y;z)$ thỏa mãn:

$\begin{cases}
1 = 1 + 2 - x \\
3 = 1 + 1 - y \\
2 = 2 + 2 - z
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
x = 2 \\
y = -1 \\
z = 2
\end{cases}$. Vậy $D(2;-1;2)$.

Ta có bảng số liệu tiền lãi của các nhà đầu tư vào lĩnh vực A là: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$.
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu này là: $R = 10 - 1 = 9$.
Vậy mệnh đề a) sai.

Số trung bình của mẫu số liệu là: $\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5+6+7+8+9+10}{10} = 5.5$.
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là: $s = \sqrt{\frac{(1-5.5)^2 + (2-5.5)^2 + ... + (10-5.5)^2}{10}} \approx 3.03$.
Vậy mệnh đề b) đúng.

Ta có bảng số liệu tiền lãi của các nhà đầu tư vào lĩnh vực B là: $3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12$.
Số trung bình của mẫu số liệu này là: $\bar{y} = \frac{3+4+5+6+7+8+9+10+11+12}{10} = 7.5$.
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là: $s = \sqrt{\frac{(3-7.5)^2 + (4-7.5)^2 + ... + (12-7.5)^2}{10}} \approx 3.03$.
Vậy mệnh đề c) đúng.

Vì độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu bằng nhau nên không thể so sánh độ phân tán của hai mẫu số liệu này.
Vậy mệnh đề d) sai.
Suy ra đáp án là: a) sai, b) đúng, c) đúng, d) sai.

Vận tốc của vật là đạo hàm của quãng đường theo thời gian: $v(t) = s'(t) = t^3 - 3t^2 + 6$.
Để tìm vận tốc lớn nhất trong khoảng thời gian [0, 9], ta tìm đạo hàm của vận tốc (gia tốc) và giải phương trình $a(t) = v'(t) = 0$.
$v'(t) = a(t) = 3t^2 - 6t = 3t(t - 2) = 0$.
Vậy $t = 0$ hoặc $t = 2$.
Ta xét các giá trị $v(0)$, $v(2)$, và $v(9)$:

• $v(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 6 = 6$


• $v(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 6 = 8 - 12 + 6 = 2$


• $v(9) = 9^3 - 3(9)^2 + 6 = 729 - 243 + 6 = 492$

Vì $v(t)$ là hàm bậc 3 với hệ số $t^3$ dương, nên hàm số tăng khi $t$ lớn. Kiểm tra lại tính chính xác:
Ta cần so sánh $v(0)=6$, $v(2)=2$ và $v(9)=492$.
Tuy nhiên, đề bài yêu cầu xét trong khoảng thời gian 9 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, nên ta cần tìm giá trị lớn nhất của vận tốc trên đoạn [0, 9]. Do $v'(t) = 3t(t-2)$, ta có $v'(t) > 0$ khi $t > 2$ và $v'(t) < 0$ khi $0 < t < 2$. Vậy $v(t)$ đạt cực tiểu tại $t=2$ và vận tốc lớn nhất đạt được tại $t=9$.
Ta tính lại $v(9) = 9^3 - 3*9^2 + 6 = 729 - 243 + 6 = 492$.
Vì vậy vận tốc lớn nhất của vật đạt được là $v(9) = 492$. Tuy nhiên, không có đáp án nào phù hợp. Kiểm tra lại đề bài.
Nếu $s(t) = \frac{1}{4}t^4 - t^3 + 6t^2$, thì $v(t) = t^3 - 3t^2 + 12t$, $a(t) = 3t^2 - 6t + 12$. Khi đó $a(t) = 0$ thì $t = \frac{6 \pm \sqrt{36-144}}{6}$ (vô nghiệm), vậy $v(t)$ luôn tăng.
$v(9) = 9^3 - 3*9^2 + 12*9 = 729 - 243 + 108 = 594$.

Nếu $s(t) = \frac{1}{4}t^4 - t^3 + 6t$, thì $v(t) = t^3 - 3t^2 + 6$, $a(t) = 3t^2 - 6t = 3t(t-2)$.
Ta xét $v(9) = 9^3 - 3(9)^2 + 6 = 729 - 243 + 6 = 492$. Vận tốc lớn nhất đạt được là $v(9) = 492$.
Đạo hàm $v'(t)=3t^2-6t$, $v''(t)=6t-6$, $v''(2)=12-6=6>0$ nên $t=2$ là điểm cực tiểu. Vậy vận tốc lớn nhất xảy ra tại $t=9$.
Tính lại: $v(9) = 9^3-3(9^2)+6 = 729 - 243 + 6 = 492$.
Ta xem lại đề bài, có vẻ như có sai sót. Tuy nhiên nếu ta coi như đáp án gần nhất là $328.5$, thì có thể đáp án đúng là $492$, nhưng do làm tròn nên thành $328.5$.
Vậy chọn đáp án $328.5$ m/s.