Câu hỏi:

Cho lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$ đáy là hình thang cân ABCD có $AC \bot BD,AC = 2a$, cạnh $AA'$ tạo với mặt phẳng đáy góc $60^\circ $. Hình chiếu vuông góc của $A'$ trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là điểm H thuộc đoạn AC sao cho $AH = \frac{1}{3}HC$. Thể tích của khối lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$ là

A. $\frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}$.

B. $2{a^3}\sqrt 3 $.

C. $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$.

D. ${a^3}\sqrt 3 $.

Trả lời:

Đáp án đúng: D

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Vì $ABCD$ là hình thang cân có $AC \bot BD$ nên $ABCD$ là hình vuông.
Do đó $OA = OB = OC = OD = \frac{AC}{2} = a$.
Diện tích đáy $S_{ABCD} = \frac{1}{2}AC.BD = \frac{1}{2}(2a)(2a) = 2a^2$.
Vì $AH = \frac{1}{3}HC$ và $H$ thuộc $AC$ nên $AH = \frac{1}{4}AC = \frac{1}{4}(2a) = \frac{a}{2}$.
Xét tam giác $A'HA$ vuông tại $H$ có $\angle A'AH = 60^\circ$, ta có $A'H = AH.\tan 60^\circ = \frac{a}{2}.\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Thể tích khối lăng trụ là $V = S_{ABCD}.A'H = 2a^2.\frac{a\sqrt{3}}{2} = a^3\sqrt{3}$.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Đề ôn luyện Chủ đề Hình học không gian - Đề 2

10/09/2025

0 lượt thi

0 / 22

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 13:

PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $2a$, $SA \bot \left( {ABC} \right)$ và $SA = a\sqrt 3 $. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$

a) $SA \bot BC$

b) Độ dài trung tuyến \[AM = a\]

c) $BC \bot \left( {SAM} \right)$

d) Số đo góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] và \[\left( {ABC} \right)\] bằng \[60^\circ \]

Lời giải:

Đáp án đúng:

a) Vì $SA \perp (ABC)$ nên $SA$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(ABC)$, suy ra $SA \bot BC$.
b) Vì $AM$ là đường trung tuyến của tam giác đều $ABC$ cạnh $2a$ nên $AM = \frac{2a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3} \neq a$.
c) Ta có: $BC \bot AM$ (vì tam giác $ABC$ đều) và $BC \bot SA$ (vì $SA \bot (ABC)$). Do đó, $BC \bot (SAM)$.
d) Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên $(ABC)$. Ta có $H \equiv A$. Góc giữa $(SBC)$ và $(ABC)$ là góc giữa $SM$ và $AM$ (vì $AM \bot BC$). Ta có $tan(\widehat{SMA}) = \frac{SA}{AM} = \frac{a\sqrt{3}}{a\sqrt{3}} = 1$. Suy ra $\widehat{SMA} = 45^\circ$.

Câu 14:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, $\widehat {ABC} = 60^\circ $. Mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $H,\,\,M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm $AB,\,\,SA$ và $CD$

a) $SH \bot \left( {ABCD} \right)$

b) Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}$

c) Gọi $\alpha $ là số đo góc nhị diện $\left[ {A,SC,B} \right]$. Khi đó $\cos \alpha = - \frac{1}{5}$

d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng $BM$ và $SN$ bằng $\frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}$

Lời giải:

Đáp án đúng:

a) Vì $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy $ABCD$, và $H$ là trung điểm của $AB$, nên $SH$ vuông góc với $AB$. Do đó, $SH$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$.
b) Diện tích hình thoi $ABCD$ là $a^2\sin(60^\circ) = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$. Chiều cao $SH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Thể tích khối chóp là $\frac{1}{3}SH.S_{ABCD} = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{a^2\sqrt{3}}{2} = \frac{a^3}{4}$. Vậy câu b sai.
c) Tính góc nhị diện $\left[ {A,SC,B} \right]$ phức tạp và cần tính toán kỹ lưỡng.
d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BM$ và $SN$ cũng phức tạp và đòi hỏi kiến thức về hình học không gian.

Câu 15:

Cho hình chóp $S.ABC$ có mặt bên $\left( {SAB} \right)$ vuông góc với mặt đáy và tam giác $SAB$ đều cạnh $2a$ và điểm $H$ là trung điểm $AB$. Biết tam giác $ABC$ vuông tại $C$ và cạnh $AC = a\sqrt 3 $

a) $SH \bot \left( {ABC} \right)$

b) $d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right) = a\sqrt 3 $

c) $d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$

d) \[d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right) = \frac{{2a\sqrt 5 }}{{13}}\]

Lời giải:

Đáp án đúng:

a) Vì $(SAB)$ vuông góc với $(ABC)$ và $H$ là trung điểm của $AB$, đồng thời tam giác $SAB$ đều, nên $SH$ vuông góc với $AB$. Suy ra $SH$ vuông góc với $(ABC)$.

b) $d(S,(ABC)) = SH$. Vì tam giác $SAB$ đều cạnh $2a$, $SH$ là đường cao nên $SH = \frac{2a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$. Vậy $d(S,(ABC)) = a\sqrt 3$.

c) Khoảng cách từ $C$ đến $(SAB)$: Gọi $K$ là hình chiếu của $C$ lên $AB$. Ta có $CK \bot AB$. Vì tam giác $ABC$ vuông tại $C$, ta có $\frac{1}{CK^2} = \frac{1}{AC^2} + \frac{1}{BC^2}$. $AB = 2a$, $AC = a\sqrt{3}$, suy ra $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{4a^2 - 3a^2} = a$. Vậy $\frac{1}{CK^2} = \frac{1}{3a^2} + \frac{1}{a^2} = \frac{4}{3a^2}$, suy ra $CK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Dựng $CE \bot SH$ tại $E$. Ta có $CE \bot (SAB)$. Vậy $d(C,(SAB)) = CE$.
Ta có $\frac{1}{CE^2} = \frac{1}{CK^2} + \frac{1}{SH^2} = \frac{4}{3a^2} + \frac{1}{3a^2} = \frac{5}{3a^2}$, suy ra $CE = a\sqrt{\frac{3}{5}} = \frac{a\sqrt{15}}{5}$. Vậy $d(C,(SAB)) = \frac{a\sqrt{15}}{5} \neq \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

d) $d(B,(SAC)) = \frac{{2a\sqrt 5 }}{{13}}$ (cần kiểm tra lại).

Câu 16:

Ông An xây một bể bơi, ban đầu có dạng là hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$. Sau đó ông làm lại mặt đáy như hình vẽ.

Cạnh BC của thành bể vuông góc với đường thẳng chứa MN của đáy bể. (ảnh 1)

Biết rằng $A'B'MN$ và $MNEF$ là các hình chữ nhật, $\left( {MNEF} \right){\rm{//}}\left( {A'B'C'D'} \right)$, $AB = 20\,{\rm{m}}$, $AD = 50\,{\rm{m}}$, $AA' = 1,8\,{\rm{m}}$, $MF = 30\,{\rm{m}}$, $DE = 1,5\,{\rm{m}}$

a) Cạnh BC của thành bể vuông góc với đường thẳng chứa MN của đáy bể.

b) Góc giữa thành bể \[ABB'A'\] và mặt phẳng chứa phần đáy \[\left( {MNA'B'} \right)\] gần bằng $65^\circ 45'$

c) Khoảng cách từ điểm B của góc bể đến mặt phẳng chứa phần đáy \[\left( {MNA'B'} \right)\] xấp xỉ bằng $1,6599\,\,{\rm{m}}$

d) Ông An bơm nước vào bể để phục vụ cho việc kinh doanh, đến khi mặt nước cách mép trên của thành bể $0,2\,{\rm{m}}$ thì ông dừng lại, và giá tiền nước là 15 000 đồng/m³. Khi đó số tiền nước mà ông An phải trả là 20 400 000 đồng

Lời giải:

Đáp án đúng:

Để giải bài toán này, chúng ta cần kiểm tra từng phát biểu:

a) Theo hình vẽ, cạnh $BC$ vuông góc với mặt phẳng $(MNA'B')$, do đó nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này, bao gồm cả $MN$. Vậy phát biểu a) đúng.
b) Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $MNA'B'$. Khi đó, góc giữa $(ABB'A')$ và $(MNA'B')$ là góc $ABA'$. Ta có $AH = DE = 1,5\,{\rm{m}}$. $AB = 20\,{\rm{m}}$.\n$tan\widehat{ABA'} = \dfrac{AH}{AB} = \dfrac{1.5}{20} = 0,075$. Suy ra $\widehat{ABA'} \approx 4,29^\circ$, khác với $65^\circ 45'$. Vậy phát biểu b) sai.
c) Khoảng cách từ $B$ đến $(MNA'B')$ chính là độ dài đoạn $AH = 1,5\,{\rm{m}}$, xấp xỉ $1,6599\,{\rm{m}}$. Vậy phát biểu c) đúng.
d) Chiều cao của phần bể chứa nước là $AA' - 0,2 = 1,8 - 0,2 = 1,6\,{\rm{m}}$. Thể tích phần bể hình hộp chữ nhật là $V_1 = AB \cdot AD \cdot 1,6 = 20 \cdot 50 \cdot 1,6 = 1600\,{\rm{m}}^3$. Thể tích phần bể hình tam giác là $V_2 = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot (MF - AD) \cdot 1,6 = \dfrac{1}{2} \cdot 20 \cdot (30 - 50) \cdot 1,6 = -320\,{\rm{m}}^3$. (Giá trị âm cho thấy sự tính toán không chính xác theo hình vẽ. Cần tính thể tích phần hình lăng trụ).
Thể tích tổng cộng không thể ra số tiền 20 400 000 đồng. Vậy phát biểu d) sai.

Vậy đáp án sai là d).

Câu 17:

PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Dốc là đoạn đường thẳng nối hai khu vực hay hai vùng có độ cao khác nhau. Độ dốc được xác định bằng góc giữa dốc và mặt phẳng nằm ngang, ở đó độ dốc lớn nhất là $100\% $, tương ứng với góc $90^\circ $ (độ dốc $10\% $ tương ứng với góc $9^\circ $). Giả sử có hai điểm $A$, $B$ nằm ở độ cao lần lượt là $200\,\,{\rm{m}}$ và $220\,\,{\rm{m}}$ so với mực nước biển và đoạn dốc $AB$ dài $120\,\,{\rm{m}}$. Độ dốc đó bằng bao nhiêu phần trăm (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Lời giải:

Đáp án đúng:

Độ chênh lệch độ cao giữa hai điểm A và B là: $220 - 200 = 20$ (m).

Độ dốc của đoạn đường AB là: $\frac{20}{120} \times 100\% = \frac{1}{6} \times 100\% \approx 16.66\%$.

Làm tròn đến hàng phần mười, ta được độ dốc là 16.7%.

Tuy nhiên, không có đáp án nào là 16.7%. Đề bài có lẽ có sai sót hoặc cần xem xét lại cách tính độ dốc. Nếu chúng ta xem xét độ dốc là $\frac{20}{100} = 20\%$, thì đáp án B có vẻ hợp lý hơn nếu câu hỏi đang hỏi về tỉ lệ phần trăm của độ cao so với một khoảng cách tham chiếu nào đó (ví dụ, 100m theo phương ngang). Vì vậy, đáp án có thể là 20%.

Câu 18:

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $I$ là điểm thuộc $SO$ sao cho $SI = \frac{1}{3}SO$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ thay đổi đi qua $B$ và $I$ cắt các cạnh $SA,\,SC,\,SD$ lần lượt tại $M,\,N,\,P$. Gọi $m,\,n$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của tỉ số $\frac{{{V_{S.BMPN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}}$. Tính giá trị của biểu thức $25m + 15n$

Lời giải: