Câu hỏi:

\(A={{\left( \frac{1}{1000} \right)}^{\alpha }}={{\left( {{10}^{-4}} \right)}^{\alpha }}={{\left( {{10}^{\alpha }} \right)}^{-4}}={{7}^{-4}}\).

a)  \(\overline{x}=\frac{3.152,5+12.157,5+13.162,5+10.167,5+3.172,5+1.177,5}{42}\approx 162,6(cm).\)

b)  Do \(3<10,5<15\)nên nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 10,5.

c)  Có \(n=42\) nên \(\frac{3n}{4}=31,5\) mà \(28<31,5<38\).

Suy ra nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 31,5.

Xét nhóm 4 là nhóm \(\left[ 165\,;\,170 \right)\) có \(t=165\,;\,\)\(l=5\,;\,\)\({{n}_{4}}=10\) và nhóm 3 là nhóm \(\left[ 160\,;\,165 \right)\) có \(c{{f}_{3}}=28\).

Vậy tứ phân vị thứ ba là \({{Q}_{3}}=165+\left( \frac{31,5-28}{10} \right).5=166,75\).

d)  Nhóm 3 ứng với nửa khoảng \(\left[ 160\,;\,165 \right)\) là nhóm có tần số lớn nhất với \(u=160\); \(g=5;\)\({{n}_{3}}=13.\)

Nhóm 2 có \({{n}_{2}}=12\), nhóm 4 có \({{n}_{4}}=10\).

Vậy \({{M}_{0}}=160+\left( \frac{13-12}{2.13-12-10} \right).5=161,25\).

a) Không gian mẫu \(n\left( \Omega  \right)=C_{15}^{3}\).

+) Gọi A là biến cố: “\(3\) viên bi được chọn có cùng màu”.

Ta có:

Gọi E là biến cố “Lấy 3 viên bi cùng màu trắng”.

\(\Rightarrow P\left( E \right)=\frac{C_{6}^{3}}{C_{15}^{3}}=\frac{20}{455}\).

Gọi G là biến cố “Lấy 3 viên bi cùng màu đỏ”.

\(\Rightarrow P\left( G \right)=\frac{C_{4}^{3}}{C_{15}^{3}}=\frac{4}{455}\).

Gọi H là biến cố “Lấy 3 viên bi cùng màu xanh”

\(\Rightarrow P\left( H \right)=\frac{C_{5}^{3}}{C_{15}^{3}}=\frac{10}{455}\).

E, G, H là các biến cố xung khắc nên.

\(\Rightarrow P\left( A \right)=P\left( E \right)+P\left( G \right)+P\left( H \right)=\frac{34}{455}\).

Chọn ĐÚNG.

b) Gọi B là biến cố “Lấy được đúng 2 viên bi màu xanh”.

Gọi M là biến cố “Lấy 3 viên bi có 2 bi màu xanh, 1 viên bi màu đỏ” .

\(\Rightarrow P\left( M \right)=\frac{C_{5}^{2}C_{4}^{1}}{C_{15}^{3}}=\frac{40}{455}\).

Gọi N là biến cố “Lấy 3 viên bi có 2 bi màu xanh, 1 viên bi màu trắng”.

\(\Rightarrow P\left( N \right)=\frac{C_{5}^{2}C_{6}^{1}}{C_{15}^{3}}=\frac{60}{455}\).

M, N là các biến cố xung khắc nên.

\(\Rightarrow P\left( B \right)=P\left( M \right)+P\left( N \right)=\frac{40+60}{455}=\frac{20}{91}\).

Chọn SAI.

c) Gọi C là biến cố: “3 viên bi được chọn có khác màu”.

Ta có: \(n\left( C \right)=C_{6}^{1}C_{4}^{1}C_{5}^{1}=6.4.5=120\).

Xác suất của biến cố C là \(P\left( C \right)=\frac{n\left( C \right)}{n\left( \Omega  \right)}=\frac{6.4.5}{C_{15}^{3}}=\frac{24}{91}\).

Chọn ĐÚNG.

d) Gọi D là biến cố “Có ít nhất 1 viên bi màu đỏ”,

\(\overline{D}\) là biến cố “ 3 viên bi được chọn không có viên bi đỏ nào”.

\(\Rightarrow P\left( \overline{D} \right)=\frac{C_{11}^{3}}{C_{15}^{3}}\).

Vậy \(P\left( D \right)=1-P\left( \overline{D} \right)=1-\frac{C_{11}^{3}}{C_{15}^{3}}=\frac{58}{91}\).

Chọn SAI.

+ Điều kiện: \(\left\{ \begin{align}  & x>0 \\  & y>0 \\  & x-4y-1>0 \\ \end{align} \right.\).

+ Ta có:

\(\begin{array}{*{35}{l}}   {} & \log _{2}^{2}(\text{xy}) & ={{\log }_{2}}\left( \frac{\text{x}}{4} \right){{\log }_{2}}(4\text{y})  \\    \Leftrightarrow  & {{\left( {{\log }_{2}}\text{x}+{{\log }_{2}}\text{y} \right)}^{2}} & =\left( {{\log }_{2}}\text{x}-2 \right)\left( {{\log }_{2}}\text{y}+2 \right).  \\ \end{array}\)

Đặt \({{\log }_{2}}x=a;\,\,{{\log }_{2}}y=b\), ta có \(\left( 1 \right)\) trở thành:

\(\begin{align}  & \begin{array}{*{35}{l}}   {} & {{(a+b)}^{2}} & =(a-2)(b+2)  \\    \Leftrightarrow  & {{a}^{2}}+ab-2a+{{b}^{2}}+2b+4 & =0  \\    \Leftrightarrow  & 2{{a}^{2}}+2ab-4a+2{{b}^{2}}+4b+8 & =0  \\    \Leftrightarrow  & {{(a+b)}^{2}}+{{(a-2)}^{2}}+{{(b+2)}^{2}} & =0  \\ \end{array} \\  & \begin{array}{*{35}{l}}   \Leftrightarrow  & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   a+b=0  \\    a-2=0  \\    b+2=0  \\ \end{array} \right.  \\    \Leftrightarrow  & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   a=2  \\    b=-2  \\ \end{array} \right.  \\ \end{array} \\ \end{align}\)

Với \(\left\{ \begin{align}  & a=2 \\  & b=-2 \\ \end{align} \right.\), ta có \(\left\{ \begin{align}  & {{\log }_{2}}x=2 \\  & {{\log }_{2}}y=-2 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x=4 \\  & y=\frac{1}{4} \\ \end{align} \right.\) (thỏa mãn điều kiện).

Khi đó \(P={{\log }_{3}}\left( 4+4.\frac{1}{4}+4 \right)+{{\log }_{2}}\left( 4-4.\frac{1}{4}-1 \right)=3\).

Điều kiện: \(x>0\).

Do các số \(3+{{\log }_{3}}2\); \(1+3{{\log }_{2}}x\); \({{\log }_{2}}x+3\log _{2}^{2}x\) theo thứ tự là cấp số nhân nên

\({{\left( 1+3{{\log }_{2}}x \right)}^{2}}=\left( 3+{{\log }_{3}}2 \right)\left( {{\log }_{2}}x+3\log _{2}^{2}x \right)\)

\(\Leftrightarrow 1+6{{\log }_{2}}x+9\log _{2}^{2}x={{\log }_{3}}2.{{\log }_{2}}x+3{{\log }_{3}}2.\log _{2}^{2}x+3{{\log }_{2}}x+9\log _{2}^{2}x\)

\(\Leftrightarrow {{\log }_{3}}2.{{\log }_{2}}x+3{{\log }_{3}}2.\log _{2}^{2}x-3{{\log }_{2}}x-1=0\)

\(\Leftrightarrow 3{{\log }_{3}}2.\log _{2}^{2}x+\left( {{\log }_{3}}2-3 \right){{\log }_{2}}x-1=0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{\log }_{2}}x=-\frac{1}{3} \\  & {{\log }_{2}}x={{\log }_{2}}3 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x={{2}^{-\frac{1}{3}}} \\  & x=3 \\ \end{align} \right.\).

Tổng: \({{2}^{-\frac{1}{3}}}+3\approx 3,8\).