Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y - 6 \le 0\\x \ge 0\\2x - 3y

Câu 15:

Cho hình chữ nhật ABCD biết \(AB = 4,\,AD = 3\). Gọi O là giao của hai đường chéo AC và BD.

A.

\(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OC} \)

B.

\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AO} \)

C.

\(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right| = 4\)

D.

\(\left| {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} } \right| = 2\sqrt {13} \)

Lời giải:

Đáp án đúng: Sai, Đúng, Sai, Đúng

a) Sai. Vì O là trung điểm của AC nên \(\overrightarrow {OA} = - \overrightarrow {OC} \)

b) Đúng. Theo quy tắc hình bình hành: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AO} \).

c) Sai. \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} \left| = \right|\overrightarrow {CB} } \right| = CB = 3\)

d) Đúng. \(\left| {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} \left| = \right|\overrightarrow {DM} } \right| = DM\)

Với M là đỉnh của hình bình hành DAMB.

Pasted image

Áp dụng định lí Pythagore:

\(DM = \sqrt {D{C^2} + C{M^2}} = \sqrt {{4^2} + {6^2}} = 2\sqrt {13} \).

Câu 16:

Cho tam giác A B C có số đo các cạnh lần lượt là \(7,\,9\) và 12. Gọi \(S,\,R,\,p,\,r\) lần lượt là diện tích, bán kính đường tròn ngoại tiếp, nửa chu vi, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

Lời giải:

Đáp án đúng: A

a) Đúng.

Ta có \(p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{7 + 9 + 12}}{2} = 14\).

b) Sai.

Theo công thức Heron, ta có:

\(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {14\left( {14 - 7} \right)\left( {14 - 9} \right)\left( {14 - 12} \right)} = 14\sqrt 5 \).

c) Sai.

Ta có \(S = \frac{{abc}}{{4R}}\)\( \Rightarrow R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{7.9.12}}{{4.14\sqrt 5 }} = \frac{{27\sqrt 5 }}{{10}}\).

d) Sai.

Ta có \(S = pr\)\( \Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{14\sqrt 5 }}{{14}} = \sqrt 5 \).

Câu 17:

Cho \({\rm{tan}}x = - 1\). Giá trị của biểu thức \(P = \frac{{{\rm{sin}}x + 2{\rm{cos}}x}}{{{\rm{cos}}x + 2{\rm{sin}}x}}\) bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Đáp án đúng: -1

Chia cả tử và mẫu P cho \({\rm{cos}}x\), ta được:

\(P = \frac{{{\rm{tan}}x + 2.1}}{{1 + 2{\rm{tan}}x}} = \frac{{ - 1 + 2.1}}{{1 + 2.\left( { - 1} \right)}} = - 1\).

Câu 18:

Biết cặp nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y \le 6\\x \ge 2\\x + y \le 4\end{array} \right.\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = 3y - 2x\) bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Đáp án đúng: -16

Miền nghiệm của hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y \le 6\\x \ge 2\\x + y \le 4\end{array} \right.\) là tam giác ABC

Pasted image

Trong đó \(A\left( {2;2} \right)\), \(B\left( {5; - 1} \right)\), \(C\left( {2; - 4} \right)\).

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = 3y - 2x\) đạt được tại các điểm \(A,\,B,\,C\).

Ta có: \(F\left( {2;2} \right) = 2\), \(F\left( {5; - 1} \right) = - 13\), \(F\left( {2; - 4} \right) = - 16\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = 3y - 2x\) bằng \( - 16\).

Câu 19:

Lớp 10A1 có 46 học sinh chuẩn bị cho hội diễn văn nghệ chào mừng ngày nhà giáo Việt Nam 20/11. Trong danh sách đăng kí tham gia tiết mục nhảy và tiết mục hát, có 26 học sinh tham gia tiết mục nhảy, 10 học sinh tham gia cả hai tiết mục. Có bao nhiêu học sinh trong lớp tham gia tiết mục hát? Biết rằng lớp 10A1 có 4 bạn không tham gia tiết mục nào

Lời giải:

Đáp án đúng: 16

Số học sinh tham gia ít nhất một trong hai tiết mục:

\(46 - 4 = 42\) (học sinh)

Số học sinh chỉ tham gia tiết mục nhảy:

\(26 - 10 = 16\) (học sinh)

Số học sinh chỉ tham gia tiết mục hát:

\(42 - 16 - 10 = 16\) (học sinh)

Câu 20:

Mẹ cho bạn An 200 nghìn đồng để mua vở và bút bi cho năm học mới. Khi đến nhà sách loại vở mà An hay dùng có giá 7 nghìn đồng một quyển, loại bút bi An hay dùng có giá \(4,5\) nghìn đồng một cây. Gọi x và y (\(x,\,y \in \mathbb{N}\)) lần lượt là số quyển vở và số bút bi bạn An mua. Khi đó x và y thỏa mãn bất phương trình \(ax + 9y \le b\). Tính giá trị biểu thức \(5a + b\)

Lời giải: