Câu hỏi:

Với \(x \in \mathbb Z\), biểu thức A nhận giá trị nguyên khi \(\frac{10}{\sqrt{x}+3} \in \mathbb Z \Rightarrow \sqrt{x}+3 \in\{ \pm 1 ; \pm 2 ; \pm 5 ; \pm 10\}\)

Vì \(x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x}+3 \geq 3 \Rightarrow \sqrt{x}+3 \in\{5 ; 10\} \Rightarrow \sqrt{x} \in\{2 ; 7\} \Rightarrow x \in\{4 ; 49\}\)

Điều kiện : \(x \geq 0\)

Vì \(10>0, \sqrt{x}+3>0\) nên \(A>0\)

Mặt khác, \(\sqrt{x} \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x}+3 \geq 3 \Rightarrow \frac{10}{\sqrt{x}+3} \leq \frac{10}{3} \Rightarrow A \leq \frac{10}{3}\)

Do đó \(0<A \leq \frac{10}{3}\) nên \(A \in \mathbb{Z}\) khi

\(\left[\begin{array} { l } { A = 1 } \\{ A = 2 } \\{ A = 3 }\end{array} \Rightarrow \left[\begin{array} { l } { \frac { 1 0 } { \sqrt { x } + 3 } = 1 } \\{ \frac { 1 0 } { \sqrt { x } + 3 } = 2 \Leftrightarrow } \\{ \frac { 1 0 } { \sqrt { x } + 3 } = 3 }\end{array} \left[\begin{array} { l } { 1 0 = \sqrt { x } + 3 } \\{ 1 0 = 2 \sqrt { x } + 6 } \\{ 1 0 = 3 \sqrt { x } + 9 }\end{array} \left[\begin{array} { l } { \sqrt { x } = 7 } \\{ \sqrt { x } = 2 } \\{ \sqrt { x } = \frac { 1 } { 3 } }\end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=49 \\x=4 \\x=\frac{1}{9}\end{array}\right.\right.\right.\right.\right. \) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy \(x \in\left\{49 ; 4 ; \frac{1}{9}\right\}\) là giá trị cần tìm.

Ta có

\(\begin{array}{|l|l|l|}\hline x & 4 & 49 \\\hline A & 2 & 1 \\\hline\end{array}\)

Vậy giá trị nguyên lớn nhất của \(A=2\) khi \(x=4\)

Với \(x \in \mathbb Z\), biểu thức A nhận giá trị nguyên nhỏ nhất là 4 khi \(x=49\)