Câu hỏi:

Hàm số bậc hai $y = ax^2 + bx + c$ có trục đối xứng là đường thẳng $x = -\frac{b}{2a}$. Ta cần tìm hàm số có trục đối xứng $x=1$.

• A. $y = -2x^2 + 4x + 1$ có trục đối xứng $x = -\frac{4}{2(-2)} = 1$.


• B. $y = 2x^2 + 4x + 3$ có trục đối xứng $x = -\frac{4}{2(2)} = -1$.


• C. $y = 2x^2 - 2x + 1$ có trục đối xứng $x = -\frac{-2}{2(2)} = \frac{1}{2}$.


• D. $y = x^2 - x + 5$ có trục đối xứng $x = -\frac{-1}{2(1)} = \frac{1}{2}$.

Vậy đáp án là A.

Gọi $AB = c, AC = b$. Vì M là trung điểm BC nên $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$.

Ta có $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}).(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \frac{1}{2}(AC^2 - AB^2) = \frac{1}{2}(b^2 - c^2)$.

Theo đề bài, $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC} = \frac{a^2}{2}$ nên $b^2 - c^2 = a^2$. (1)

Tam giác ABC vuông tại A nên $BC^2 = AB^2 + AC^2 \Leftrightarrow 3a^2 = b^2 + c^2$. (2)

Từ (1) và (2) ta có:

• $b^2 - c^2 = a^2$
• $b^2 + c^2 = 3a^2$

$\Rightarrow 2b^2 = 4a^2 \Rightarrow b^2 = 2a^2 \Rightarrow b = a\sqrt{2}$.

$\Rightarrow c^2 = 3a^2 - 2a^2 = a^2 \Rightarrow c = a$.

Vậy $AB = a, AC = a\sqrt{2}$.