Câu hỏi:

Biết $\cos a = \frac{1}{3}$, $\cos b = \frac{1}{4}$. Giá trị \[\cos \left( {a + b} \right) \cdot \cos \left( {a - b} \right)\] bằng

\[ - \frac{{113}}{{144}}.\]

\[ - \frac{{115}}{{144}}.\]

\[ - \frac{{117}}{{144}}.\]

\[ - \frac{{119}}{{144}}.\]

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Ta có công thức biến đổi tích thành tổng: $\cos(a+b)\cos(a-b) = \frac{1}{2} [\cos((a+b)+(a-b)) + \cos((a+b)-(a-b))] = \frac{1}{2} [\cos(2a) + \cos(2b)] $
Sử dụng công thức nhân đôi, ta có: $\cos(2a) = 2\cos^2(a) - 1 = 2(\frac{1}{3})^2 - 1 = 2(\frac{1}{9}) - 1 = \frac{2}{9} - 1 = -\frac{7}{9}$
$\cos(2b) = 2\cos^2(b) - 1 = 2(\frac{1}{4})^2 - 1 = 2(\frac{1}{16}) - 1 = \frac{1}{8} - 1 = -\frac{7}{8}$
Do đó: $\cos(a+b)\cos(a-b) = \frac{1}{2} [-\frac{7}{9} - \frac{7}{8}] = \frac{1}{2} [-\frac{56}{72} - \frac{63}{72}] = \frac{1}{2} [-\frac{119}{72}] = -\frac{119}{144}$
Vậy đáp án đúng là B.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Đề thi kiểm tra giữa học kì 1 môn Toán lớp 11 - CTST - Đề 1

17/09/2025

0 lượt thi

0 / 21

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 11:

Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ biết ${u_1} = 4$ và $d = 3$. Tổng $S$ của $20$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có công thức tính tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: $S_n = \frac{n}{2}[2u_1 + (n-1)d]$.
Trong trường hợp này, ta có $n=20$, $u_1=4$, và $d=3$.
Thay các giá trị này vào công thức, ta được:
$S_{20} = \frac{20}{2}[2(4) + (20-1)3] = 10[8 + 19(3)] = 10[8 + 57] = 10[65] = 650$.
Vậy $S_{20} = 650$.

Câu 12:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành (xem hình vẽ). Khẳng định nào sau đây sai?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có:

$BC // AD \subset (SAD) => BC // (SAD)$

$CD // AB \subset (SAB) => CD // (SAB)$

$AD // BC \subset (SBC) => AD // (SBC)$

Vì vậy, các đáp án A, B, D đúng.

Đáp án C sai vì $SA$ và $(SCD)$ cắt nhau tại $S$

Câu 13:

B. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG - SAI. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số $y = \sin \left( {2x - \frac{\pi }{2}} \right)$

a) Tập xác định của hàm số đã cho là $\left[ { - 1;1} \right]$

b) Hàm số đã cho là hàm số lẻ.

c) Hàm số đã cho là hàm tuần hoàn với chu kì $T = \pi $

d) Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên $\left[ {\frac{{ - \pi }}{8};\frac{\pi }{3}} \right]$ bằng $1$

Lời giải:

Đáp án đúng:

a) Tập xác định của hàm số $y = \sin(2x - \frac{\pi}{2})$ là $R$ (tất cả các số thực), vì hàm sin xác định trên toàn bộ trục số thực. Do đó, tập xác định không phải là $[-1, 1]$. Vậy câu a) là Sai.

b) Để xét tính chẵn lẻ của hàm số, ta tính $f(-x) = \sin(2(-x) - \frac{\pi}{2}) = \sin(-2x - \frac{\pi}{2}) = -\sin(2x + \frac{\pi}{2}) = -\cos(2x)$. Vì $f(-x) \neq f(x)$ và $f(-x) \neq -f(x)$, nên hàm số không chẵn cũng không lẻ. Vậy câu b) là Sai.

c) Chu kỳ của hàm số $y = \sin(ax + b)$ là $T = \frac{2\pi}{|a|}$. Trong trường hợp này, $a = 2$, nên chu kỳ là $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Vậy câu c) là Đúng.

d) Xét hàm số $y = \sin(2x - \frac{\pi}{2})$ trên $\left[ {\frac{{ - \pi }}{8};\frac{\pi }{3}} \right]$. Đặt $t = 2x - \frac{\pi}{2}$. Khi $x = \frac{-\pi}{8}$, $t = 2(\frac{-\pi}{8}) - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = -\frac{3\pi}{4}$. Khi $x = \frac{\pi}{3}$, $t = 2(\frac{\pi}{3}) - \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6}$. Vậy $t \in [-\frac{3\pi}{4}; \frac{\pi}{6}]$. Vì $\sin(t)$ đạt giá trị lớn nhất bằng 1 khi $t = \frac{\pi}{2}$, và $\frac{\pi}{2}$ không thuộc $[-\frac{3\pi}{4}; \frac{\pi}{6}]$, ta cần xét các giá trị đầu mút và các điểm tới hạn. $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ và $\sin(-\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng đã cho là $\frac{1}{2}$. Vậy câu d) là Sai.

Câu 14:

Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba, và cứ như vậy (số ghế ở hàng sau nhiều hơn 3 ghế so với số ghế ở hàng liền trước nó).

a) Số ghế ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng.

b) Số hạng đầu của dãy số là $18$

c) Cấp số cộng có công sai $d = 3$

d) Nếu muốn hội trường đó có sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư đó phải thiết kế tối thiểu 15 hàng ghế

Lời giải:

Đáp án đúng:

Phân tích từng đáp án:

a) Số ghế ở mỗi hàng tăng đều 3 ghế, nên lập thành cấp số cộng. Vậy a) đúng.

b) Số hạng đầu của dãy là số ghế ở hàng thứ nhất, tức là 15, không phải 18. Vậy b) sai.

c) Công sai là số chênh lệch giữa hai hàng liên tiếp, là 3. Vậy c) đúng.

d) Ta có cấp số cộng với $u_1 = 15$ và $d = 3$. Tổng $n$ số hạng đầu là $S_n = \frac{n}{2}(2u_1 + (n-1)d) = \frac{n}{2}(2\cdot15 + (n-1)3) = \frac{n}{2}(30 + 3n - 3) = \frac{n}{2}(27 + 3n)$.
Để $S_n \ge 870$, ta có $\frac{n}{2}(27 + 3n) \ge 870 \Rightarrow n(27 + 3n) \ge 1740 \Rightarrow 3n^2 + 27n - 1740 \ge 0 \Rightarrow n^2 + 9n - 580 \ge 0$.
Giải phương trình $n^2 + 9n - 580 = 0$, ta được $n = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 4(1)(-580)}}{2} = \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 2320}}{2} = \frac{-9 \pm \sqrt{2401}}{2} = \frac{-9 \pm 49}{2}$.
Vậy $n = \frac{40}{2} = 20$ hoặc $n = \frac{-58}{2} = -29$ (loại vì $n$ phải dương). Vậy cần ít nhất 20 hàng ghế. Vậy d) sai.

Vậy câu sai là b).

Câu 15:

C. TRẢ LỜI NGẮN. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 4.

Rút gọn biểu thức

\[A = \cos \left( {\alpha + 26\pi } \right) - 2\sin \left( {\alpha - 7\pi } \right) - \cos 1,5\pi - \cos \left( {\alpha + \frac{{2003\pi }}{2}} \right) + \cos \left( {\alpha - 1,5\pi } \right) \cdot \cot \left( {\alpha - 8\pi } \right)\]

ta được kết quả là $a\sin \alpha + b\cos \alpha $ $\left( {a,b \in \mathbb{Z}} \right)$. Khi đó $3a + b$ bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có:

$\cos(\alpha + 26\pi) = \cos(\alpha)$

$\sin(\alpha - 7\pi) = \sin(\alpha - (2\cdot 3 + 1)\pi) = -\sin(\alpha)$

$\cos(1.5\pi) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$

$\cos(\alpha + \frac{2003\pi}{2}) = \cos(\alpha + \frac{(4\cdot 500 + 3)\pi}{2}) = \cos(\alpha + \frac{3\pi}{2}) = \sin(\alpha)$

$\cos(\alpha - 1.5\pi) = \cos(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = -\sin(\alpha)$

$\cot(\alpha - 8\pi) = \cot(\alpha)$

Do đó:
$A = \cos(\alpha) - 2(-\sin(\alpha)) - 0 - \sin(\alpha) + (-\sin(\alpha))\cot(\alpha) = \cos(\alpha) + 2\sin(\alpha) - \sin(\alpha) - \sin(\alpha)\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \cos(\alpha) + \sin(\alpha) - \cos(\alpha) = \sin(\alpha)$

Vậy $a = 1$ và $b = 0$.
Khi đó, $3a + b = 3(1) + 0 = 3$.
Vì câu hỏi yêu cầu trả lời ngắn, ta điền 3.

Câu 16:

Có bao nhiêu nghiệm của phương trình $\sqrt 2 {\rm{cos}}\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1$ thuộc đoạn $\left[ {0;2\pi } \right]$?

Lời giải: