Câu hỏi:

Biết $\cos a = \frac{1}{3}$, $\cos b = \frac{1}{4}$. Giá trị \[\cos \left( {a + b} \right) \cdot \cos \left( {a - b} \right)\] bằng

\[ - \frac{{113}}{{144}}.\]

\[ - \frac{{115}}{{144}}.\]

\[ - \frac{{117}}{{144}}.\]

\[ - \frac{{119}}{{144}}.\]

Trả lời:

Đáp án đúng: C

Ta có công thức biến đổi tích thành tổng: $\cos(a+b)\cos(a-b) = \frac{1}{2} [\cos(2a) + \cos(2b)]$
Sử dụng công thức $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$, ta có: $\cos(2a) = 2\cos^2 a - 1 = 2(\frac{1}{3})^2 - 1 = \frac{2}{9} - 1 = -\frac{7}{9}$
$\cos(2b) = 2\cos^2 b - 1 = 2(\frac{1}{4})^2 - 1 = \frac{2}{16} - 1 = \frac{1}{8} - 1 = -\frac{7}{8}$
Vậy: $\cos(a+b)\cos(a-b) = \frac{1}{2} [-\frac{7}{9} - \frac{7}{8}] = \frac{1}{2} [\frac{-56-63}{72}] = \frac{1}{2} \cdot \frac{-119}{72} = -\frac{119}{144}$

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

20+ Câu trắc nghiệm giữa HK1 Toán 11 - KNTT - Đề 2

17/09/2025

0 lượt thi

0 / 21

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 11:

Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ biết ${u_1} = 4$ và $d = 3$. Tổng $S$ của $20$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Đáp án đúng: a

Ta có công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của cấp số cộng: $S_n = \frac{n}{2}[2u_1 + (n-1)d]$.

Trong trường hợp này, ta có $n = 20$, $u_1 = 4$, và $d = 3$.

Thay các giá trị này vào công thức, ta được:

$S_{20} = \frac{20}{2}[2(4) + (20-1)3] = 10[8 + 19(3)] = 10[8 + 57] = 10(65) = 650$.

Vậy tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là 650.

Câu 12:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành (xem hình vẽ). Khẳng định nào sau đây sai?

$Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành (xem hình vẽ). Khẳng định nào sau đây sai? (ảnh 1)$

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên:

$BC \parallel AD$, mà $AD \subset (SAD)$ suy ra $BC \parallel (SAD)$.

$CD \parallel AB$, mà $AB \subset (SAB)$ suy ra $CD \parallel (SAB)$.

$AD \parallel BC$, mà $BC \subset (SBC)$ suy ra $AD \parallel (SBC)$.

Do đó, các đáp án A, B, D đúng.

Xét đáp án C: $SA$ và $(SCD)$ có điểm chung là $S$. Do đó, $SA$ không thể song song với $(SCD)$. Vậy đáp án C sai.

Câu 13:

Cho hàm số $y = \sin \left( {2x - \frac{\pi }{2}} \right)$.

(a) Tập xác định của hàm số đã cho là $\left[ { - 1;1} \right]$.

(b) Hàm số đã cho là hàm số lẻ.

(d) Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên $\left[ {\frac{{ - \pi }}{8};\frac{\pi }{3}} \right]$ bằng $1$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có hàm số $y = \sin(2x - \frac{\pi}{2}) = \sin(2(x - \frac{\pi}{4})) = -\cos(2x)$.

(a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$, do đó (a) sai.

(b) $y(-x) = -\cos(-2x) = -\cos(2x) = y(x)$, do đó hàm số là hàm số chẵn, nên (b) sai.

(c) Chu kì của hàm số $y = \cos(ax)$ là $T = \frac{2\pi}{|a|}$. Do đó, chu kì của hàm số $y = -\cos(2x)$ là $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$, nên (c) đúng.

(d) Xét $x \in [-\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{3}]$. Khi đó $2x \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{2\pi}{3}]$. Suy ra $\cos(2x) \in [-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}]$. Do đó, $y = -\cos(2x) \in [-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}]$. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $\frac{1}{2} < 1$, nên (d) sai.

Vậy (c) đúng.

Câu 14:

Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba, và cứ như vậy (số ghế ở hàng sau nhiều hơn 3 ghế so với số ghế ở hàng liền trước nó).

(a) Số ghế ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng.

(b) Số hạng đầu của dãy số là $18$.

(d) Nếu muốn hội trường đó có sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư đó phải thiết kế tối thiểu 15 hàng ghế

Lời giải:

Đáp án đúng:

(a) Số ghế ở mỗi hàng tăng đều 3 ghế, nên đây là một cấp số cộng.
(b) Số hạng đầu của dãy là số ghế ở hàng thứ nhất, tức là 15, chứ không phải 18.
(c) Công sai $d$ là hiệu giữa số ghế ở hai hàng liên tiếp, tức là $d = 18 - 15 = 3$.
(d) Ta có cấp số cộng với $u_1 = 15$ và $d = 3$. Tổng $n$ số hạng đầu là $S_n = \frac{n}{2}[2u_1 + (n-1)d] = \frac{n}{2}[2(15) + (n-1)3] = \frac{n}{2}(30 + 3n - 3) = \frac{n}{2}(27 + 3n)$.
Ta cần $S_n \ge 870$, tức là $\frac{n}{2}(27 + 3n) \ge 870$ hay $n(27 + 3n) \ge 1740$, suy ra $3n^2 + 27n - 1740 \ge 0$, hay $n^2 + 9n - 580 \ge 0$.
Giải phương trình $n^2 + 9n - 580 = 0$ ta được $n \approx 20.4$. Vì vậy, $n$ phải lớn hơn hoặc bằng 21 để tổng số ghế lớn hơn hoặc bằng 870. Do đó, cần tối thiểu 21 hàng ghế.

Vậy câu sai là (b).

Câu 15:

Rút gọn biểu thức

\[A = \cos \left( {\alpha + 26\pi } \right) - 2\sin \left( {\alpha - 7\pi } \right) - \cos 1,5\pi - \cos \left( {\alpha + \frac{{2003\pi }}{2}} \right) + \cos \left( {\alpha - 1,5\pi } \right) \cdot \cot \left( {\alpha - 8\pi } \right)\]

ta được kết quả là $a\sin \alpha + b\cos \alpha $$\left( {a,b \in \mathbb{Z}} \right)$. Khi đó $3a + b$ bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có:
$A = \cos \left( {\alpha + 26\pi } \right) - 2\sin \left( {\alpha - 7\pi } \right) - \cos 1,5\pi - \cos \left( {\alpha + \frac{{2003\pi }}{2}} \right) + \cos \left( {\alpha - 1,5\pi } \right) \cdot \cot \left( {\alpha - 8\pi } \right)$
$= \cos \alpha - 2\sin \left( {\alpha - \pi } \right) - \cos \left( {\pi + \frac{\pi }{2}} \right) - \cos \left( {\alpha + 1001\pi + \frac{\pi }{2}} \right) + \cos \left( {\alpha - \pi - \frac{\pi }{2}} \right) \cdot \cot \alpha $
$= \cos \alpha + 2\sin \alpha - 0 - \cos \left( {\alpha + \pi + \frac{\pi }{2}} \right) + \cos \left( {\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right) \cdot \cot \alpha $
$= \cos \alpha + 2\sin \alpha - \sin \alpha + \sin \alpha \cdot \cot \alpha $
$= \cos \alpha + 2\sin \alpha - \sin \alpha + \sin \alpha \cdot \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$
$= \cos \alpha + 2\sin \alpha - \sin \alpha + \cos \alpha $
$= 2\cos \alpha + \sin \alpha $
Suy ra $a = 1, b = 2$
Vậy $3a + b = 3.1 + 2 = 5$.

Câu 16:

Có bao nhiêu nghiệm của phương trình $\sqrt 2 {\rm{cos}}\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1$thuộc đoạn $\left[ {0;2\pi } \right]$?

Lời giải: